Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов

• Автор: Токова, Алла Аскербиевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 84 с. : ил.

1 Задачи с локальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа

§ 1. Общее представление решений

§ 2. Теорема существования и единственности решения первой

краевой задачи

§ 3. Задача с условиями Пуанкаре

2 Задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа

§ 1. Задача с условием первого класса

§ 2. Задачи с локальным смещением

§ 3. Теорема существования и единственности решения задачи

§ 4. Теорема существования и единственности решения задачи

3 Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанно-параболического типа
§ 1. Общее представление решений
§ 2. Задачи с локальным смещением
§ 3. Теоремы существования и единственности решений задач
с локальным смещением
Заключение
Список литературы
В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирования процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления, исследованные в работах A.B. Бородина [7], H.H. Кочиной [32] - [34], Р.Г. Карданова, А.М. Нахушева [21] - [23], [40] - [43], [83], В.А. Нахушевой [54], Л.И. Сер-биной [60], С.М. Тарга [61].
Термин «нагруженное уравнение», впервые появился в работах Кне-зера применительно к интегральным уравнениям. Среди посвященных нагруженным уравнениям особо следует отметить работы А. Кнезера ([80], [81] 1914 г.), JI. Лихтенштейна ([82] 1931 г.), Н.М. Гюнтера ([10] 1932 г.), H.H. Назарова ([36] 1948 г.), А.Ш. Габиб-заде ([11] 1959 г.), Б.М. Будака и А.Д. Искендерова ([6] 1967 г.), Э. Эшдавлатова ([75], [76] 1976 г.).
Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. А.М. Нахушевым в [39], и приводится в работах [45], [46], [48]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [51].
Определение 0.1. Пусть Q - n-мерная область евклидова пространства Rn точек х = (жх, ...,хп). Заданное в области О дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию Ö многообразиях размерности меньше п [39].

В дальнейшем к исследованию нагруженных уравнений обращались многие авторы. Отметим работы [1] - [3], [5], [7] - [9], [12] - [27], [29] -[31], [35], [39] - [44], [49], [56], [57], [74], [78], [79].
Именно результаты А.М. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений.
В шестидесятых годах A.B. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными. Для реализации этой проблемы А.М. Нахушев в 1969 году предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [37], [38], [50], [53].
Важное значение нагруженные уравнения имеют также для методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является предложенный А.М. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [47].
Суть метода редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене дифференциального или интегро-дифференциального уравнения
Lu — f(x), и 6 D(L), (0.1)
аппроксимирующим его с той или иной точностью нагруженым дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнением
Lu = f(x), и € D(L) — D(L), (0.2)
такого же типа и порядка.
Определение 0.2. Функция й € D(L) называется приближенным решением задачи (0.1), если она является точным (или приближенным)

(2.20). Теорема 2.3 доказана.
Замечание 2.1. Обозначив
(р + - (р - Х)е-{р+^г - 2Л
Рг(р, Л)
2 гр(р2 — А2)
Р2(Р,Х)
(р + А)е<р~л)г + (р - А)е-(р+л>г - 2р гр(р2 — А2) ’
ЗД,А)
4Ар + 2рг(р2 — X2) + е (р+а)г(А — р)2 — є*? л)г(А +р)2 га(у)р(р2 — А2)2
У4(р, А) = е(р-л)г
(А2 — р2 + А(/?і + »2) + Р1&2 ~ йд/Зг) +

«2 “А
—(р+А)г
—(р2 — А2 — А (/Зі + »2) — /Зі о?2 + од/Зг) 4
~02Є
-2А г
Условие (2.24) можно переписать в следующем виде
Д(р,А) 7^ о,
а условие (2.25) в виде
2о(у)р
е(р-А)г _ е-(р+А)г
^і(Рі А) ( /32
е{р-Х)г _ е-{р+)г

-РчІР, А) ^А + /Зі +
е(р-А)г _ е-(р+А)г
е0>-А)г(р_ А) + е-(а+АУ(р + А)

+ од.