Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа

• Автор: Идрисов, Ринат Галимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 129 с. : ил.

Глава 1. Задача Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности

§1.3. Экстремальные свойства модуля решений в области гиперболичности

§1.4. Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области

§1.5. Примеры

§1.6. Условная разрешимость задачи Геллерстедта

Глава 2. Существование решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . . 50 §2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена ... 75 §2.4. Сведение задачи Геллерстедта к системе сингулярных интегральных уравнений

Глава 3. Разностный метод решения задачи Геллерстедта для од-

ной системы уравнений смешанного типа
§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи С/,
♦ §3.2. Принцип максимума в области эллиптичности
§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности
§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения
Библиографический список

В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Результаты итальянского ученого были обобщены в трудах С. Геллерстедта. Изучаемые ими задачи стали классическими и теперь известны в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
Обнаруженные в конце 40-х годов многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболо-* чек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали
новый толчок исследованиям в этой области. Фундаментальными работами стали труды М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.
В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях A.B. Бицадзе, Т.Д. Джураева, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева.
Классической задачей в теории уравнений смешанного типа является задача Геллерстедта, возникающая в теории сопел Лаваля при нахождении потока сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками в случае несимметричного сопла.

§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса
В области Д} для системы (2.2) поставим следующую задачу.
Задача Коши-Гурса. Найти регулярное в решение и(£,т]) —
(и, и%,... ,ип) системы (2.2), удовлетворяющую условиям:
где п;(£), фи{г]) - заданные достаточно гладкие функции.
Единственность и существование регулярного решения задачи Коши-Гурса для уравнения вида (2.1) в случае, когда у < 0, ш = l(mod2), А, В £ C3(D_), С € C2(D-) и, кроме того при m ^ 2 функция А представима в виде А = 0(1)уп, п > у — 1, были установлены Геллерстедтом [58]. Затем в работе А.М. Нахушева [33] был изучен вопрос о единственности сильных и существовании слабых решений задачи Коши-Гурса для существенно более широкого класса уравнений, чем в [58]. Здесь также приводятся примеры, показывающие неединственность решения этой задачи для уравнений, не принадлежащих этим классам. В [6] доказано существование регулярного решения задач Гурса и Коши-Гурса с нулевыми граничными условиями для уравнения
Lu = К{у)ихх - иуу + а{х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у)и = f(x, у), (2.11)
К, |а|, |Ь|, |с| < оо, К(у) > 0 для уф О, К(0) = 0, при некоторых ограничениях на правую часть и коэффициенты уравнения (2.11). В [30] М.М. Мередов эти результаты перенес на системы вида (2.11), где а,Ь,с- матрицы порядка m х m, f — (/i, /2,. • -, fm).
(2.9)