Оценки решений систем дифференциальных уравнений нейтрального типа

• Автор: Скворцова, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 165 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Системы дифференциальных уравнений нейтрального типа с постоянными коэффициентами в линейных членах

§1.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

§1.2. Доказательства теорем 1.1.1-1.1.

§ 1.3. Доказательства теорем 1.1.4-1.1.

§ 1.4. Случай одедз =

§ 1.5. О выборе матриц ЯиАф)

§ 1.6. Системы дифференциальных уравнений нейтрального

типа с переменным запаздыванием

Глава 2. Системы дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами в линейных членах
§ 2.1. Постановка задачи и формулировка основных результатов
§ 2.2. Доказательства теорем 2.1.1-2.1.
§ 2.3. Доказательства теорем 2.1.4-2.1.
§ 2.4. Случай =
§ 2.5. О выборе матриц Я(£) и К (в)
Заключение
Литература

Введение
Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом начала интенсивно развиваться в середине прошлого столетия. Уравнения такого типа возникают при описании процессов, скорость изменения которых определяется не только настоящим, но и предшествующим состояниями. Такие процессы часто называют “процессами с запаздыванием” или “с последействием”. Они возникают во многих задачах теории автоматического регулирования и управления, автоматики и телемеханики, радиофизики, при моделировании процессов иммунологии, при изучении генных сетей, экономики и т. д. (см., например, [8], [11], [12], [14], [15], [20], [21], [24], [34], [36], [37], [51], [52], [54], [57], [58], [59], [67], [69], [83], [85], [103], [104], [113], [114], [118], [119]).
В настоящее время имеется огромное число работ по теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Для таких уравнений изучаются различные постановки задач, проводятся теоретические и численные исследования свойств решений, рассматриваются конкретные модели, возникающие в приложениях. Одной из важных проблем в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом является изучение устойчивости решений. Этой тематике посвящен ряд монографий (см., например, книги А.Д. Мышкиса [55] (1951), Л.Э. Эльсгольца [96] (1955), Н.Н. Красовского [44] (1959), Э. Пинии [60] (1961), Р. Веллмана и К. Кука [10] (1967), В.П. Рубаника [68] (1969),
A. Халаная и Д. Векслера [87] (1971), Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норки-на [98] (1971), Ю.А. Митропольского и Д.И. Мартынюка [53] (1979),
B.Б. Колмановского и В.Р. Носова [39] (1981), С.Н. Шиманова [95] (1983), Дж. Хейла [89] (1984), Д.Г. Корепевского [41] (1989), [42] (2008), Н.В. Аз-белева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1] (1991), Ю.Ф. Долгого [33] (1996), В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [111] (1999), Н.В. Аз-белева и П.М. Симонова [4] (2001), К. Гу, В.Л. Харитонова и Дж. Чена [105] (2003) и др.).
В диссертации рассматриваются системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида
jt{iyit)+Dy{t-T)) = Ay(t)+By(t-T)+F(t,y(t),y(t-T)), t> 0, (0.1)

где А, В, D — вещественные матрицы размера п х п, F(t, и, v) — вегце-ственнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица по и и оценке
\F(t,u,v)\ < gi||ii||1+tJl + О, г = 1,2.
Цель наших исследований — изучение экспоненциальной устойчивости нулевого решения некоторых классов систем вида (0.1) в случае, когда D — ненулевая матрица. В диссертации дается описание областей допустимых начальных условий, при которых решение системы существует на всей полуоси {t > 0} и стремится к нулю на бесконечности, а также устанавливаются оценки решений системы (0.1), характеризующие экспоненциальное убывание при t —> оо.
Отметим, что в случае ненулевой матрицы D системы уравнений вида (0.1) в литературе принято называть системами нейтрального типа. Уравнения нейтрального типа были впервые выделены в книге [96] (см. [10], стр. 112).
Исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом начались более полувека назад (A.A. Андронов и А.Г. Майер [7], Р. Веллман [9], H.H. Красовский [43], J1.C. Понтря-
гин [61], Б.С. Разумихин [62] и др.). К настоящему времени наиболее
изученными являются задачи об асимптотической устойчивости стационарных решений автономных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, при этом широкое распространение получили спектральные методы исследований. Основой для них служит спектральный критерий асимптотической устойчивости. В случае, когда D — 0, в силу этого критерия асимптотическая устойчивость нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
^y{t) = Ay{t) + By{t - т), t> 0, (0.2)
эквивалентна принадлежности корней квазимногочлена
del(A + е~ХтВ - XI) = 0 (0.3)
левой полуплоскости С_ = {А 6 С : Re Л < 0} (см., например, [10], [89], [97]). В этом случае из асимптотической устойчивости решений вытекает экспоненциальная устойчивость. В случае, когда матрица D —

В дальнейшем введенные параметры в, £, д будут использоваться при описании множества для начальных данных, при которых решение начальной задачи (1.1.8) существует на всей полуоси {1 > 0}, и при указании равномерных оценок решения.
Вначале мы сформулируем результаты для случая, когда ||1)|| < 1. Как и в случае линейной системы уравнений, результаты существенным образом зависят от матрицы В.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.1.1. Предположим, что существуют матрицы Н и К (в) такие, что выполнены условия (1.1.5)-(1.1.7) и
||£>|| < е~£г/2.
Тогда при £, = Ы<)еС"(Ьг.О)): ф<0, 2й(!/(0.¥.)Г/г<£,
^ _ цоц^/2)-1 + ЦДЦФ < Л
решение начальной задачи (1.1.8) определено при всехЬ > 0. При этом справедлива оценка
Кг/сои < >/||д--11|у(°.у)^ л _ те~гЛ--^+Фтн
(i-|№fF): {,“'у >
(1.1.18)
Теорема 1.1.2. Предположим, что существуют матрицы II uK(s) такие, что выполнены условия (1.1.5)-(1.1.7) и
р|| = в—/2.
Тогда при (p(t) Е £2, где
£^