О положительной обратимости разнопорядковых задач на графах

• Автор: Белоглазова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
Введение
1 Обоснование постановки рассматриваемых задач
1.1 Основные понятия теории краевых задач на графах
1.2 Сетеподобные струнно - стержневые системы. Общая модель
1.3 Описание первой канонической модели - "струнно - стержневого креста"
1.4 Описание второй канонической модели - "стержневого
треугольника со струнами"
2 Начальный анализ краевых задач
2.1 Исследование общей однородной задачи
2.2 Принцип максимума
2.3 Построение функции Грина
3 Свойства функций Грина модельных задач
3.1 Непрерывность функции Грина для обеих моделей
3.2 Неотрицательность и оценки функции Грина для первой
модели
3.3 Неотрицательность функции Грина для второй модели
3.4 Положительность второго итерированного ядра для второй модели
3.5 Симметричность функций Грина
4 Спектральная задача

4.1 Спектральные свойства интегрального оператора с сущест-
• венно положительным ядром
4.2 Спектральная задача для первой модели
4.3 Спектральная задача для второй модели
Литература

Введение
Дифференциальные уравнения на геометрических графах (сетях) и стратифицированных множествах - один из относительно новых разделов теории дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают в различных разделах естествознания, техники, а также при исследовании некоторых математических проблем.
Приведем постановки некоторых задач.
1. Сетки из струн [9, 10, 11]. Каждая струна может смещаться параллельно некоторой прямой, под действием нагрузки параллельной этой прямой. Движение и смещение описывается уравнениями второго поря-

дка. В узлах сетки задаются условия непрерывности, баланса натяжен-< ий, на границе сетка может быть закреплена, что выражается условиями
Дирихле.
2. Решетки из стержней [12, 13]. Поперечные смещения решетки из стержней описываются уравнениями четвертого порядка, в узлах сетки задаются условия сочленения стержней. Эти условия более разнообразны, чем для струн.
3. Гидросеть. Здесь на каждом ребре сети описывается движение жи-дкости с помощью уравнения Навье - Стокса, в узлах сети задаются условия непрерывности давлений, условия баланса расхода жидкости [14].
4. Электрическая сеть. Здесь на каждом ребре сети могут рассматриваться потенциалы, токи. В узлах сети задаются условия непрерывности потенциалов и баланса токов. Аналогичные модели используются для описания нейронных сетей [15, 16, 17].
5. Теплопроводность. Здесь на каждом ребре задаются уравнения теплопроводности, а в узлах формируются условия непрерывности темп-
, ератур и баланса тепловых потоков. Аналогичные модели используются
при описании процессов диффузии [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
6. Состояние электронов в молекуле. Стационарная модель описы-

полуоднородную
Ьи = /, /ЄС(Д(Г))
(2.1.3)
ік{и) = 0, к — ,т,
и однородную
Ьи = 0,
(2.1.4)
£к(,и) = 0, к = 1, т
задачи.
На каждом ребре 7,-, і = 1,г существует фундаментальная система решений {«,і, «,'2, ..., і = 1 ,/■ уравнения Ьи = 0. Продолжим
каждую из этих функций нулем на остальные ребра графа Г и обозначим продолженные функции через г}, і = 1 ,т.
Справедливы следующие утверждения:
Предложение 2.1.1 Функции і = 1,т линейно независимы на Г.
Доказательство.
Пусть линейная комбинация ^ CjZj(x) = 0. Рассмотрим произвольное

ребро 7^, г = 1, г. На этом ребре только функции ..., ^„.отличны

от нуля. Тогда на ц имеем ^2 сЗкгзЛх) — 0> причем г^п

образуют фундаментальную систему решений уравнения Ьи = 0 на 7; и, следовательно, линейно независимы на 7*. Отсюда получаем =
... = с;„. = 0. Поэтому все коэффициенты ц — 0, э — 1 ,т, и функции г], j = 1,т линейно независимы на Г.
Предложение 2.1.1 доказано.
Предложение 2.1.2 Общее решение однородного уравнения Ьи = 0 имеет вид:

(2.1.5)