Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа

• Автор: Срумова, Фриза Вахидовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 152 с.

Содержание
Введение. „...................-.-....-.-...г-.-.....л... ~ ..77.."4-23"
Глава 1.
Обзор литературы
§ 1. О разрешимости смешанных задач
§ 2. Об исследованиях, относящихся к волновому
уравнению (Ь = А, где А.-оператор Лапласа)
Глава II. Вычисление асимптотики энергии, излученной почти
периодическим источником колебаний при £ —> да
§ 1. Вычисление асимптотики энергии при £ -» оо в
произвольной N - мерной области.................60-69.
§ 2. Вычисление асимптотики энергии при £ —» оо в
слое Т?2х[0,/]
Г лава Ш. Вычисление асимптотики энергий для решения линейной системы уравнений Максвелла
§ 1. Об асимптотике энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных

§ 2. Об асимптотике энергии, излученной почти периодическим источником электромагнитных колебаний в волноводе
Глава IV. Резонансные свойства энергии во всем пространстве
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Об асимптотике энергии для волнового уравнения при £ —» оо во внешности области «ловушечного» типа
Глава V. Энергия для абстрактной задачи Коши
§ 1. Асимптотика энергии при £ оо для решения
абстрактной задачи Коши
§ 2. Пример вычисления асимптотики энергии при £ —>• оо для симметрической гиперболической системы
§ 3. Вычисление асимптотики энергии при t -» ОО для
абстрактного волнового уравнения
§ 4._ Вычисление асимптотики энергии при t —> об для ~
волновода
Г лава VI. Об асимптотике энергии случайных источников
колебаний
§ 1. Асимптотика математического ожидания случайной
величины E(t) при t -» оо
§ 2. Об асимптотике энергии случайных источников
колебаний для абстрактной задачи Коши
§ 3. Об асимптотике энергии, излученной случайно
расположенными источниками колебаний
§ 4. Резонансные свойства энергии, излученной случайно
расположенными источниками колебаний
§ 5. Вычисление асимптотики энергии для решения эволюционной стохастической системы
уравнений
§ 6. Об асимптотике энергии, излученной во внешнюю среду случайным источником колебаний (источником шума)
Глава VII. Поведение энергии при акустическом рассеянии и
вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости
§ 1. Вычисление асимптотики энергии для решения
уравнения акустики
§ 2. Вычисление асимптотики энергии для решения волнового уравнения генерации звука в жидкости
Приложение. О суммируемости обобщенным методом Римана рядов Фурье по ФСФ полигармонического оператора
Литература

Введение
Асимптотика энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа в последние десятилетия привлекает пристальное внимание математиков, физиков и инженеров, которое объясняется в первую очередь перспективами использования данного материала.
Несмотря на широкое научное и практическое применение данного материала, углубленное исследование их свойств представляется актуальным и в настоящее время. Новые перспективы открывает использование асимптотики энергии для некоторых классов уравнений гиперболического типа для некоторых классов нелинейных уравнений гиперболического типа , а именно для нелинейных уравнений колебательных процессов и нелинейной системы уравнений Максвелла.
Цель и задачи исследования. Цель настоящей работы в установлении асимптотических формул энергии, излученной различными источниками для решения некоторых классов линейных и нелинейных уравнений гиперболического типа, в частности, использование системы уравнений Максвелла первого порядка для вычисления асимптотики энергии для нелинейной системы уравнений Максвелла.
Методика исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики. Рассматриваются дискретный и непрерывные спектры.
Научная новизна
1. Вычислена асимптотика энергии, излученной почти периодическим источником колебаний, для уравнений высшего порядка.
2. Вычислена асимптотика энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн, для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка.
В работе [4] В. Р. Носова доказывается существование классического решения в произвольном нормальном цилиндре для общего гиперболического уравнения второго порядка с коэффициентами, не зависящими от времени.
В работе [4] рассматривается смешанная задача
где х = (Х, хг, .. . ,х ц) - точка N - мерного пространства. Оператор Ь считается эллиптическим оператором вида:
где а > 0 для всех вещественных £.
Автор классическим решением задачи (1.1.11) называет такую функцию и которая определена и непрерывна в замкнутом
цилиндре (2 + 5), где £) = Ох[0 боковая поверхность цилиндра О; первые и вторые производные
функции и (х, ?) существуют и непрерывны всюду внутри цилиндра
_ ди . .
£> ; производная — непрерывна также при г = О и х е 5.2, и (х,1)

удовлетворяет всем условиям задачи (1.1.11) в обычном классическом смысле.
Основной результат работы [4] сформулирован в виде следующей теоремы.
(1.1.11)

Всюду в области Є, причем + Г) є С, (х) — а.. (х),

£і2 , (1.1.13)