О нелинейных абстрактных параболических дифференциальных включениях

• Автор: Гудович, Анастасия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 117 с.

1 Сингулярно возмущенные включения параболического типа
1.1 Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве
1.2 Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве
2 Принцип усреднения для сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений, содержащих гистерезисные нелинейности
2.1 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений
с гистерезисными нелинейностями
2.2 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений
с гистерезисными нелинейностями

В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.
Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными являются восходящий к С. Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).
Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными 7?; -образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом, В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]).

Топологические методы применялись при исследовании операторных уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, Р. 2есса. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.
Пусть Е — банахово пространство, Р1: Е X [0,1] —> Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения
х = Е(х, 0), (1)
причем т^(Т(-, 0), х*) ф 0. Тогда при достаточно малых е > 0 множество решений Хе уравнения х — Т’(т, е) непусто, причем многозначное отображение е н> Хе непрерывно при е — 0.
Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству С/, такому что отображение I — Е(-,0) имеет на границе II отличное от нуля вращение (относительное вращение) (см. [2]), а также на случай, когда Е — многозначное вполне непрерывное выпуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда Е — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными Яь-образами (см. [45]). При этом имеет место полунепрерывность сверху отображения е н-> Хе. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены Ю.Г. Борисовичем.
Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения £ 1-* Х£ не может быть получена как следствие одной из таких теорем.
Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (диф-

получим
IIxe(t + г) - Ж£(<)|| < CTX~a~v. (1.68)
Пользуясь липшицевостью селектора /2, свойствами Ds), Dy), равномерной ограниченностью хе и равенством (1.68), из (1.65) получим
II т + т)- УеШ <-f e-1'd^[kC1T1-a-1' + кт +
е J
+ pRCiTX~a~u + (7 + P)\y£{s + т) - уе(а)||] ds <
< §V~Q-" + - f e~*d2(t~^(ry + /3)\ye(s + r) — y£(s)|| ds.
«2 £ J
Обозначим ||y£(i + 7") — T/e(t)|| = u(t). Тогда
u(t) < <^lTl-a~v + - f e~‘d2<'t~sy + P)u(s) ds.
«2 £ J
С помощью метода последовательных приближений нетрудно показать, что
n(t) <

Итак,
||й(* + Т) - й«11 < , С1 (1.69)
0.4
Лемма доказана.

При v = в, полагая I = max{Ci, имеем {хе,уе) £ Zi(e).
Доказательство теоремы 1.2. Из леммы 2 следует, что множество Zi(e) непусто при всех е £ (0,£о]-
Докажем теперь, что множество Д)(0) непусто. Пусть £к S (0, eg], £к —^ 0, а {(ад,ук)} — соответствующая последовательность решений задачи (1.64)-(1.65), удовлетворяющая условиям (1.66) и (1.67). Докажем, что множества {ад(Г)}, {yk(t*)} являются относительно компактными при любом фиксированном t* £ [0,Т].
Пусть ао удовлетворяет неравенству а+ ау < 1. Тогда
xk(f) = Г A^e~A^[fl(s) + b12(A^xk(s))yk(s)} ds.