О некоторых свойствах параболических и несамосопряженных эллиптических функционально-дифференциальных операторов

• Автор: Варфоломеев, Евгений Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

1 Нормальность линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов
1.1 Постановка задачи
1.2 Необходимые и достаточные условия нормальности
1.3 Комментарии
1.4 Вспомогательные утверждения
1.5 Доказательство теоремы 1
1.6 Доказательство теоремы 1
1.7 Доказательство теоремы 1
2 Смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений
2.1 Постановка задачи
2.2 Спектральные свойства эллиптического функционально-дифференциального оператора
2.3 Формальное решение методом Фурье
2.4 Существование обобщенных решений
2.5 Единственность обобщенных решений

3 Бифуркация периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений
3.1 Постановка задачи
3.2 Линеаризация
3.3 Спектральные свойства линеаризованного оператора
3.4 Бифуркация периодических решений
3.5 Бифуркация Андронова—Хопфа
1. В настоящей диссертации изучаются квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие конечное число преобразований пространственных переменных, а также соответствующие линеаризованные эллиптические и параболические функциональнодифференциальные операторы.
Параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие отклонения по переменной времени, рассматривались в ряде работ, см. [29-31, 36, 40]. Наиболее общий случай таких уравнений с переменными запаздываниями в старших производных исследовался в работах В. В. Власова [8, 9].
Краевые задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами по пространственным переменным изучались в работах
А. Л. Скубачевского, Р. В. Шамина и А М.Селицкого [17, 21, 25, 34].
В диссертационной работе рассматриваются параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных. Такие задачи возникают в нелинейной оптике.
В нелинейных оптических системах с преобразованием поля в двумерной обратной связи возникают различные регулярные периодические яв-

нормальный. Выбирая не равные по модулю углы вращения и подходящее преобразование д(х), добьемся выполнения условия 1.2 в лемме 1.4.
Таким образом, все предположения леммы 1.4, кроме условия 1.1, выполнены, а преобразования д1 = д, г £ /С, не имеют вид (1.18).
Пример 1.7. Рассмотрим пример, показывающий, что условие коммутативности преобразований ,дх существенно в лемме 1.6. Рассмотрим область Q, оператор А и преобразования д и д2, введенные в примере 1.3. В таком случае выполняются все условия леммы 1 6, кроме условия коммутативности. Из доказательства леммы 1.6 следует, что нормальность оператора А эквивалентна нормальности оператора Ai+A? для любых и £ Т>(АА*). Положим и(х 1,.Г2,а"з) = (.ri + хч)^(х), где £ £ — срезающая функция, такая что 0 ^ f < 1, £(х) = 1 при х £ Q-i: и £(.г) = 0 при х £ Q,. (Здесь Q-: С Q, dist(5Qf,0Q) = £.) Очевидно, что и £ Т>(ЛА"). Поскольку выполняются все условия леммы 1.3, кроме условия (1.14), в силу примера 1.3 получим, что оператор А -V Ач нормален тогда и только тогда, когда равенство (1.17) выполнено при почти всех х £ Q. Выбирая .г° = (0, 0, 1); и учитывая вычисления из примера 1 3, мы видим, что равенство (1.17) нарушается, по крайней мере, в окрестности точки х{). Следовательно, при таких условиях оператор А не является нормальным.
Доказательство теоремы 1.1 следует из лемм 1.4, 1.5 и 1.6.
1.6 Доказательство теоремы 1
Лемма 1.7. Пусть Cl;h = 0, i = 1 ЛГ. Тогда g,(Q) = Q, i = 1'V, и если оператор А нормальный и выполнено хотя бы одно из уело-