Вопросы корректности задач для уравнения пространственно неоднородной коагуляции

• Автор: Буробин, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 142 c. : ил.

■ -2- ■ ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ

§ 1.1. Основные обозначения. Классы функций

§ 1.2. Предварительные построения

§ 1.3. Разрешимость аппроксимирующей задачи

§ 1.4. Теоремы существования

§ 1.5. Существование единственного решения. Итерационный процесс

§ 1.6. Свойства решений

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА. КОШИ. ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ ГРАВИТАЦИ

0НН0Г0 ТИПА

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Нелокальная теорема существования и единствен
ности. Итерационный процесс
§ 2.3. Другие теоремы существования. Свойства решений
§ 2.4. Уравнение коагуляции с малым параметром
§ 2.5. Некоторые замечания о начально-краевых задачах
ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОАГУЛЯЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ТИПА
§ 3.1. Постановка задачи. Классы функций
§ 3.2. Разрешимость вспомогательной задачи
§ 3.3. Существование решений
ЛИТЕРАТУРА

■ Проводится изучение некоторых математических задач, возникающих при описании эволюции микрогетерогенных физических систем, называемых дисперсными, методами статистической физики.
Под дисперсной системой понимают среду /дисперсионная среда/ с распределенными в ней частицами диспергированной фазы. В простейшем случае среда может быть жидкой, газообразной /облака, туманы, дымы, коллоидные растворы и т.п./. Могут быть дисперсные системы и более сложной природы. Например, пористые среды.
Физические объекты, по сути являющиеся дисперсными системами, широко распространены в природе; вещества в диспергированном

виде часто используются в промышленности, всё чаще появляются в быту. Поэтому исследования по физике дисперсных систем имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. Большое внимание таким исследованиям уделяется, к примеру, в физике атмосферы [1-4]; с ними связано изучение процессов образования и эволюции облаков, туманов, осадкообразования, загрязнения атмосферы в результате природных явлений, промышленной деятельности человека и её самоочищения, разработка методов и средств активного воздействия на эти процессы. Сходные задачи могут решаться для помещений [ 5 ]
Первые попытки применения статистических методов к описанию дисперсных систем восходят, по-видимому, к трудам польского физика М. Смолуховского; ему принадлежат фундаментальные результаты в статистической теории броуновского движения; он заложил основы кинетической теории процессов коагуляции /см. [з] /.
Коагуляция - один из основных механизмов, ответственных за эволюцию дисперсной системы. Различные микрофизические процессы могут приводить к сближению частиц диспергированной фазы и их слиянию /коагуляции/ с образованием частиц более крупных размеров. Характер этих процессов определяется природой дисперсной системы.

В дальнейшем, как правило, предполагается, что дисперсионная среда жидкая или газообразная. Изучению микрофизики таких систем посвящены, например, работы [1,3,6,7]
Для описания эволюции дисперсных систем за счёт коагуляции частиц используется аппарат кинетических уравнений [3,8-Ю]
Пусть система коагулирующих частиц сосредоточена в некоторой области пространства. Рассмотрим кинетическое уравнение общего вида
|Д+ Шг [шх.гр] - ^иг[0(х,г)7Д]=;>у$Д /г
Функция I - унарная функция распределения частиц системы по размерам X /массам или объёмам/, Х^О , она является функцией пространственных координат %= 1п ) /здесь 11 может принимать одно из значений: 0,1,2,3; если [1-0 , зависимость от пространственных координат отсутствует/ и времени 1 ; ШХ,Х) -вектор-функция, составленная из И компонент,
0(1, г) - матрица размерности пхп с элементами , являющимися функциями аргументов X и Ъ . Правая часть уравнения представляется в виде:
Я/!,!) Щ>Х) 1(х-у,гЛ) I (у,г,Му-
/ 2
- }(х,гЦ) 1 ЙудЦ) о!у.
Неотрицательная функция 9(х,у,г) характеризует интенсивность столкновений частиц с массами X и у в окрестности заданной точ-ки области; эта функция должна быть симметричной относительно ар-гументов X и у , т.е. Ф(х,у,г)=Ф(у,х,х).

f<Л",(.,2Д)= dx$ G(.,z,t-T:f)x
[0,tl д ’ ’ 5 '
Переходя к пределу, при ограниченной области А непосредственно получаем:
Я,2,и= s dxS &(.,7.,t-r;f) XL(i,i) dt /х-го
С0,ы д Ф
Если область А неограниченная, в пределе получается аналогичный результат, но с учётом быстрого убывания Функции Грина G при |f |—■> оо , равномерной оценки /I-II/ и следствия из тео-ремы I.I.
Поскольку для А -решения j- справедливо тождество /1*20/> доказательство теоремы будет завершено, если показать, что предположения теоремы обеспечивают для функции Д«р(£ J) выполнение условия /Lip
Представим функцию в развернутом виде:
Едесь функции i и 1р ISJ) удовлетворяют условию Lip , так как Ф< 3(п<<Ли, в силу следствия 2 из теоремы 1.2» it Еу . то же самое можно сказать и о функции К<р ( I) . В самом деле, воспользовавшись тождеством /1*20/ и линейностью оператора легко представить функцию в виде суммы двух функций, каждая ИЗ которых удовлетворяет условию Lip . Значит, И ДЛЯ j t

Теорема доказана.