Классификация Бэра показателей Ляпунова линейных систем

• Автор: Салов, Евгений Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с.

Содержание
Введение

§1. Формулировки основных результатов

§2. Используемые обозначения

Глава I. Вспомогательные понятия и утверждения

§3. Ляпуновские преобразования

§4. Формула для мажоранты показателя Ляпунова

§5. Классы Бэра и лебеговские множества функционалов

§6. Верхнепредельные функционалы

Глава II. Эффективные множества возмущений

§7. Равнокусочно постоянные возмущения для кусочно постоянных

уравнений
§8. Равнокусочно липшицевые возмущения
§9. Кусочно постоянные возмущения
Глава III. Классификация Бэра некоторых показателей
§10. Миноранты верхнепредельных функционалов
§11. Нижние показатели Изобова
Список литературы

Введение
§1. Формулировки основных результатов
Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Мп линейных уравнений вида
х — A(t)x, х £ Rn, t £ R+, (1.1)
с кусочно непрерывными и ограниченными на полупрямой R+ оператор-функциями
A:R+ -> End R”.
В дальнейшем, пользуясь вольностью речи, будем отождествлять уравнение (1.1) с оператор-функцией А, фигурирующей в записи этого уравнения.
Множество Мп наделим структурой линейного пространства с естественными для оператор-функций операциями сложения и умножения на действительное число.
Определение 1.1. Будем обозначать через Л4“ топологическое пространство, получаемое из Мп введением в нем равномерной топологии при помощи нормы
||А||= sup A(t) , (1.2)

где обозначено
|A(t)| = sup |A(t)a;|, (1.3)

|ж| = yjx + ... + xl, x = (xlt.. .,xn). (1.4)
Через Mcn будем обозначать топологическое пространство, получаемое из Мп введением в нем ком,пакт,но открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм
pk(A)= sup |A(t)|, k £ N. (1.5)
t€[fc-l,fc]

Для всякого уравнения А Е Л4п условимся обозначать через АДДД т), где t, т Е R+, его оператор Коши, т. е. линейный оператор, действующий из Rn в Rn и для каждого решения х уравнения А удовлетворяющий условию
XA(t,T)x(r) = x(t). (1.6)
Существование и единственность такого оператора доказана в [17, с. 72].
Определение 1.2 [24, 27]. Показателями Ляпунова уравнения (1.1) называются числа
АДА) = inf lim jln|XA|F(C0)|, (1.7)
FeOi t->+oо t
где i = l,...,n, Qi — множество г-мерных подпространств пространства Rn, a Xaf — сужение оператора Коши уравнения (1.1) на подпространство F С Rn.
Из формулы (1.7) следует, что показатели Ляпунова занумерованы в порядке нестрогого возрастания:
АДА) < Ао(А) < ... < А„(А).
Число Ах(А) назовем младшим показателем уравнения А, число Ап(А) — старшим показателем уравнения А, а числа АДА), i = 2,..., п — 1, — промежуточными показателями.
Показатели Ляпунова названы по имени русского ученого А. М. Ляпунова, который ввел их [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Так, если старший показатель Ляпунова уравнения А Е А4п отрицателен, то нулевое решение этого уравнения асимтотиче-ски устойчиво, а если положителен — то неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мер-ного подпространства.
Показатели Ляпунова уравнений из пространства М.п будем рассматривать как функционалы, определенные на этом пространстве:
р.М.п —» R, i = l,...,n.

5.2°. Объединение и пересечение конечного числа множеств, принадлежащих одному и тому же типу, принадлежат тому же типу.
Семейства Еа с четным индексом и семейства 6га с нечетным индексом являются счетно-мультипликативными, т.е., если счетная последовательность множеств принадлежит такому семейству, то их пересечение также принадлежит этому семейству. Все множества, принадлежащие некоторому семейству такого типа, назовем множествами мультипликативного класса а и обозначим через Ма. Аналогично, семейства Аа: с нечетным индексом и семейства Са с четным индексом являются счетно-аддитивными и образуют аддитивный класс а; обозначим его через Аа.
Определение 5.2 [46, с. 223-224]. Пусть задан произвольный функционал р: Л4 —> II. Если при каждом г £ Е для некоторого а £ N0 множество {А 6 М. | р(А) > г} есть Аа, мы скажем: функционал р принадлежит, классу (Аа,*) или есть функционал класса (Аа,*); если при каждом г £ К для некоторого а £ N0 множество {А £ Л4 | р(А) > г} есть Ма, мы скажем: функционал р принадлежит классу (*,Ма) или есть функционал класса (*, Ма). Если имеет место и то и другое, скажем, что функционал р принадлежит классу (.Аа,Ма).
Например, непрерывные функционалы пространства Л4 принадлежат классу (С, Г).
Замечание 5.1. Множества р~г((г, +ос)) и р~1 ([г, +оо)), г £ К, участвующие в определении 5.2, принято называть [46, с. 221] лебегов-скими множествами функционала р.
Следующая лемма устанавливает соответствие между классификацией разрывных функций с помощью лебеговских множеств и классификацией Бэра (см. определение 1.3).
Лемма 5.1 [46, с. 231]. Для любого а £ N0 класс функций Фа совпадает с классом (Аа,Ма).
В свою очередь, для классов Ф^г и Ф„ир, а £ N0, (см. определение 1.7) справедлива
Лемма 5.2 [46, с. 231]. Для любого а £ N0 классы Ф1^ и Ф^ир совпа-