О некоторых обратных задачах спектрального анализа

• Автор: Станкевич, Мария Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРОВ ОДНОГО КЛАССА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Достаточные условия дискретности спектра. Асимптотические формулы для собственных
значений

§ 2. Примеры

Глава II. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТИ ОПЕРАТОРА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ПО ОДНОМУ И ДВУМ СПЕКТРАМ
§ I. Определение одного из коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка по одному и двум спектрам . . . § 2. Определение комплекснозначного потенциала <^(х)Є по одному и двум спектрам

операторов, являющихся обобщением дифференциальных

ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ П

О О Ои

ЛИТЕРАТУРА

Обратными задачами спектрального анализа в самом общем смысле называются задачи восстановления оператора (или его неизвестной части) по известным спектральным характеристикам. В зависимости от типа оператора, структуры его спектра и характера исходных спектральных данных обратные задачи спектрального анализа различаются своими постановками. Наибольший интерес представляют обратные задачи, которые допускают единственное решение. В связи с этим особое значение приобретают теоремы единственности.
В настоящей диссертации рассматриваются обратные задачи двух видов: I) определение неизвестной части оператора (обыкновенного дифференциального порядка Лиг ( т?/*, ) или более общего типа) по одному спектру; 2) определение неизвестной общей части двух разных операторов (указанных выше) по их спектрам. В задачах такого вида используется относительно небольшой набор спектральных данных (один или два спектра), наиболее естественных с физической точки зрения, поэтому они могут представлять интерес для решения прикладных задач математической физики.
4°. Остановимся более подробно на некоторых результатах, полученных ранее в теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных операторов.
Один из первых результатов в этой области для дифференциальных уравнений 2-ого порядка был получен В.А.Амбарцумяном в 1929г. в работе '[гЗ , в которой он показал, что если собственные значения краевой задачи
1 ~Г
с непрерывным вещественным потенциалом £^(х) равны то С|/(х)=0,
Следующий шаг в теории обратных задач для операторов Штурма-
(*)+(] '(о)
(Х)уСХ)-Ду(Х) (Обг-Х^ЗГ)
(0.1)
(0.2)

Лиувилля на конечном отрезке был сделан Боргом в 1946 г. в [2 3 • Основной результат этой работы может быть сформулирован следующим образом: собственные числа 1-Мо и ]ЧГ уравнения (0.1) при граничных условиях у'(о)-?и1Но)=0 , 1|Ч0Г) + Ну(4г)вО
И у'Со)-?ц1|(о)=о , У‘(с!Г)+Ну(аг)=о (14 111 ЛЛ±*
И 4оо ) ^ соответственно, однозначно определяют функцию (|(Х) при данных 1Дь и . (Отметим, что Борг накладывал некоторые ограничения на I ,к, Н . Б вышеприведенной формулировке теорема была доказана Л.А.Чудовым [зЗ ). Борг также показал, что потенциал (|Дх) , удовлетворяющей условию С|, (х) = (|, (ог-х) , определяется однозначно спектром уравнения (0.1) при граничных условиях (0.2) или
1^0)» ^(Я-)-О (0.3)
И ЧТО В общем случае ОДИН спектр не определяет ФУН1ЩИЮ однозначно. В работе [2 3 бьш предложен также метод построения уравнения (0.1) по двум спектрам. Однако при этом предполагалось, что существует уравнение вида (0.1) такое, что данные последовательности 1пЛо * {]Ч~1ь}о - его спектры.
Обратная задача для синуулярного дифференциального уравнения 2-ого порядка впервые была изучена А.Н.Тихоновым в 1949 г. в работе в связи с некоторыми математическими проблемами электроразведки (см. также [бЗ )• В работе [43 было доказано, что если функция и(х> X) является при А < 0 решением задачи. ц,"(х)-+ А^р4(:х)Щх>-О, х>0 , и.(оо>0
(где 3^(х) - кусочно-аналитическая функция, 3>(х»Ззо>0 ^ , то >(Х) однозначно определяется значениями функции ЩА>
= Ио,к)/ а(о,А) цри А<0 . Теорема единственности
аналогичного типа была доказана также в [бЗ •
В 1950 г. В.А.Марченко показал, что спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля определяет этот оператор однозначно [бЗ»

(2.12) и исследуем его на разрешимость. Мы получим, что при условии (2.10) это уравнение имеет единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условиям (2.4) и (2.11). Однако, любое решение уравнения (2.12), как показано на первом этапе, порождает в соответствующей краевой задаче собственные числа » причем
простые. Тем самым утверждение теоремы 2.1 о существовании искомой функции С^(х) будет доказано. Как было отмечено выше, любая функция СЦ* (х) ♦ удовлетворяющая условию (2.4), лежащая в шаре
(2.11), порождающая собственные числа » удовлетворяет и
уравнению (2.12), которое имеет единственное решение в этом шаре. Так доказывается утверждение 2.1 о единственности решения обратной задачи в шаре (2.11).
Перейдем к реализации этого плана.
Утверждение 2.1. Рассмотрим задачу (2.1), (2.2) (или (2.1), (2.3)). Пусть С^С(х)ви^(0,ЗГ) " последовательность
собственных чисел, занумерованных естественным способом, и выполнено условие (2.11). Тогда справедливы следующие неравенства:
^ ^ ( И.—-I, Л,—),((1п,~ХуС~^К-1 >Му,%> из которых следует, что:
1|М<. (и=<д,...)
Доказательство. Оценим величины:
С помощью тождественных преобразований представим Аи, в
следующем виде: М и,-V
М- , № Я-
~ +Л ^(х)^Сх)1|/п,и)с1х-