Композиция методов линеаризации и аппроксимации операторных, интегральных и дифференциальных уравнений

• Автор: Кротов, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 113 с.

0. Введение

I. Композиция методов для операторных уравнений

1.1. Модификация метода сжимающих отображений

в линейном подпространстве КВ-линеапа

1.2. Усреднение нелинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора

1.3. Модификация метода сжимающих отображений в серии подпространств

1.4. Усреднение и проекционный метод в серии подпространств

II. Композиция методов для интегральных уравнений

II.1. Усреднение нелинейного интегрального уравнения

и аппроксимация обратного оператора

П.2. Линеаризация интегрального уравнения в сочетании с аппроксимацией
ядра и невязки
III. Композиция методов для обыкновенных дифференциальных уравнений
Ш.1. Усреднение полулинейного уравнения второго порядка
и аппроксимация обратного оператора
Ш.2. Приближенное решение граничной задачи для полулинейного уравнения
второго порядка в серии конечномерных подпространств
Ш.З. Приближенное решение начальной задачи для полулинейного уравнения
второго порядка в серии конечномерных подпространств
IV. Композиция методов в задаче Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа
IV. 1. Усреднение полулинейного уравнения и аппроксимация обратного оператора
IV.2. Прямой метод приближенного решения полулинейного уравнения
в серии подпространств
V. Заключение
VI. Литература

0. Введение
Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений, построению последовательности приближений посвящена обширная литература (см. например [1-5, 7-10, 16, 17, 20-22, 31-34] ).
Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е. В. Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский,
Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.
В диссертации исследуется процесс построения последовательности приближений к решению нелинейного операторного уравнения, записанного в форме, соответствующей задачам для дифференциальных уравнений:
Их - = (0.1)
где О - главная линейная часть уравнения, а последнее равенство означает начальные или (и) краевые условия.
В поиске приближенных решений - нелинейное уравнение обычно подвергается известному процессу линеаризации: подбирается такой линейный оператор Г, что
Г(*-г)~Е(*)-Е(г), минус-поправки А„ = ип - мд+1 вычисляются как решения линейных уравнений
(П-Г)Д„=7)«Я -/«>„), АД„=0, устанавливаются достаточные условия сходимости метода в предположении, что линейные уравнения решаются точно. Однако, на практике они аппроксимируются другими линейными уравнениями, поэтому вопрос о сходимости метода остается открытым.
В диссертации исследуется композиция методов линеаризации нелинейного уравнения и аппроксимации при каждом п линейных уравнений алгоритма, устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости процесса приближений к решению, указывается скорость сходимости.
Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве У. Образы
Ох, А(х)<ЕГ.
Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность.

В диссертации пространство Узатем реализуется как пространства С, L2, Lx с естественным — поточечным смыслом сравнимости у > 0.
Однако, при таком смысле сравнимости - дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в Y.
Здесь изучается случай, когда обратный оператор
={Д:Д£Х, N£± = 0} неизвестен вычислителю, но известен оператор
D"1 :Y —* М.
Исследуются два способа аппроксимации линейных уравнений.
В первом способе производится выбор целых чисел
т{п) г 0, т(п) -» оэ ,
оператор

(D - Г)"1 =D-1^(rD~y при каждом п заменяется на операторы
т(п)
D~x У (Г/Г1)*

Установлено достаточное условие выбора номеров т{п), при котором метод сходится.
Уравнение х = Г'(х) здесь трактуется как частный случай задачи (0.1) при X =У, 2 = {0}, £>==/, N = 0,
где IX а X
Во втором способе задача (0.1) приводится к эквивалентному виду — уравнению
х = Ф(х)
в пространстве У. Номера
О ^ т(п) т(п +1) -» оо.
Вводится серия линейных подпространств
УИСУИ+1СУ. (0.2)
Оператор Г: У -* У, Г(х - г) - Ф(х) - Ф(г) заменяется при т = т(п) на линейные операторы
Г -Г, Г :У -»У
т ’ т т т

(Гкх)(я) =(я, г)х(г)(к,

процесс (1.2.37) здесь принимает вид (II.1.11). Выполнены все условия п. 1.2.4.
Сходимость в пространстве С - равномерная. Из теоремы 1.2.3 следует теорема II.1.1.
Замечание. Если назначить
тахфп = тах(ф^_2 .ф^), где77-целая часть числа 2е.
11.1.2. Приведем приложение теоремы 1.2.3 к проблеме приближенного решения нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна с малым параметром а > 0 :
(О г; я й 1).
(11.1.13)

Обозначим
2 “ [ОД] х [0,1],
Л*](М)=
X - С (0,1).
Выделено множество
ЕС X
и выбрана функция
Поставим условия. Функция н'<Е X . Еслиа:е£,то /[д:]£С(<2).