Краевые задачи для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью

• Автор: Колпаков, Илья Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Основные обозначения

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные определения и некоторые сведения из функционального анализа

1.2. Элементы теории линейных абстрактных функциональнодифференциальных уравнений

1.3. Неявные операторы

2. Теоремы существования

2.1. Квазилинейные операторные уравнения с необратимой линейной частью

2.2. Теоремы существования с условиями на границе области

2.3. Неявные операторы и теоремы существования

2.4. Абстрактные квазилинейные краевые задачи

2.5. Системы квазилинейных операторных уравнений

3. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений
3.1. Периодическая краевая задача для уравнения Льенара
3.2. Периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом
3.3. Уравнения с малым параметром
3.4. Задача Коши для одного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с необратимой линейной частью
3.5. Задачи Коши для уравнения нейтрального типа
Литература

Основные обозначения.
Rn - и-мерное евклидово пространство векторов а = соі{сс, ai-, ап),
где а/ є R1, і = 1, п с нормой | • | ;
/ - тождественный оператор;
X, Y - вещественные банаховы пространства
X} х А2 - прямое произведение банаховых пространств;
Х © Xi - прямая (топологическая) сумма банаховых пространств;
X* - банахово пространство сопряженное с X ;
* 'к *
L : Y -> X - оператор сопряженный к L ; в - нулевой элемент пространства X ;
Q - открытая ограниченная окрестность в є X ;
М п М2 - пересечение множеств Mi и Mj ;
Sr (jtfl ) - открытый шар радиуса г с центром в точке jcq ;
- сфера радиуса г с центром в точке jcq ;
М - замыкание множествам ;
ÔM - граница множества М ;
ker L - ядро линейного оператора L;
0(1) сХ - область определения оператораL; й(1)сГ - образ линейного оператора L; dim М - размерность множества М ; ind L - индекс оператора L;
Р : X -> X - проектор;
Рс - дополнительный проектор для Р ;
- коэффициент сюръективности оператора L ;
Lp[a,bl<, р <со - банахово пространство функций у :[]-> R с суммируемыми в р-й степени компонентами и нормой
^00 М] - банахово пространство измеримых и ограниченных в существенном функций с нормой
\х\г = тн8ир|лс(г)(.
00 ФА
1>р[а,Ь 1 < р < оо - банахово пространство абсолютно непрерывных
функций таких, что хеЬр, с нормой
ІНІ/),= 1^^+Мір ’
н'Р[«А' < р < оо - банахово пространство абсолютно непрерывных
вместе с первой производной функций таких, что хеЬр, с
нормой

Замечание 2.2.1. На практике, в случае если ||.£| трудно вычислить точно условие 2) теоремы 2.2.1 удобно заменить следующим, более легко проверяемым условием:
2)из £€0^1 (121 Яб(0,1)=>^?бАКР(/ + Г)^.
Действительно, по лемме 2.2.1 уравнение (2.2.5) эквивалентно уравнению (2.2.6), откуда следует эквивалентность условий
56 ЛГ(1 + Т)хи X * ЛЩ1 + т)х.
Теорема 2.2.2. Пусть оператор 2. - нетеров, существуют открытая ограниченная окрестность нуля О с X и непрерывный оператор Т.Хо -> кег I такие, что выполнены условия:
1)/’(/ + гХх0)сЛ(1),
2) из (121 =120X0), Ле (ОД) и существования открытого множества Ог в Я(ь) такого, что
Я02с02=^ (2.2.7)
ЬХ£П2,Р(1 + Т)ХеЩ. (2.2.8)
Тогда существует решение уравнения (2.2.1) в О.
Доказательство. Как и в случае теоремы 2.2.1 достаточно убедиться в разрешимости уравнения
1.х=г(1+т)х
на Хц.
Рассмотрим пересечение 01=00X9, являющееся открытой ограниченной окрестностью нуля в Х0. Пусть ^ едО^, поэтому вследствие (2.2.8)
Г(/ + Г)хеЪ и вследствие (2.2.7) с Л е (0.1)
ЛГ(1 + Т)х<=П
из (2.2.8) следует, что для ХедС21, Яе(0,1) =>2.^й02 и
ЛР(/+Т)Хе 02 , откуда