Дифференциальные инварианты и спектральный метод в прямых и обратных задачах с переменными коэффициентами

• Автор: Меграбов, Александр Грайрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 276 с. : ил.

Основные обозначения
Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу дифференциальных уравнений Т[и, а] = 0 с переменными коэффициентами (параметрами) а(х): введение равноправия и(х) и а(ж), вычисление группы в расширенном пространстве (ж,«1 = и,и2 = а), изучение и применение ее
дифференциальных инвариантов
§ 1.1. Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой группы при групповом анализе дифференциальных уравнений Т[и, а] = 0 с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) а(ж): введение равноправия и и а и вычисление допускаемой группы в пространстве (х, и1 = и, и2 = а)
§ 1.2. Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача
группового расслоения (краткое описание)
§ 1.3. Обшая схема предлагаемого группового подхода и логическая структура диссертации в гл. 1-4. Обратная задача группового расслоения
Глава 2. Рассматриваемая группа б и ее свойства. Построение группового расслоения (в явном виде) для широкого класса дифференциальных
уравнений с переменным коэффициентом (параметром) и2(х, у)
§ 2.1. Группа О. Ее инварианты, дифференциальные инварианты первого и второго
порядка, операторы инвариантного дифференцирования
§ 2.2. Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами
группы С. Связь группы С с дифференциальной геометрией
§ 2.3. Теорема о базисе дифференциальных инвариантов группы б
§ 2.4. Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с
произвольным переменным параметром и2(ж,у)
§ 2.5. Примеры классических линейных и нелинейных уравнений математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(ж, у), допускающих группу (7, для которых теоремы п. 2.4.1, 2.4.2 дают групповое расслоение
Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат выполненного
группового анализа
§ 3.1. Различные формы системы Я и разрешающей системы ЯЕ
§ 3.2. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение пары
Лакса в явном виде
§ 3.3. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат применяемого
группового подхода и следствия из него
Глава 4. Приложения результатов группового подхода, полученных в гл. 1—3, к конкретным дифференциальным уравнениям математической
физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(х, у)
§ 4.1. Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики) . Новое описание с помощью группового подхода
§ 4.2. Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода.
Групповое расслоение и представление Лакса
§ 4.3. Волновое уравнение с произвольной переменной скоростью распространения волн. Групповое расслоение и представление Лакса. Сведение обратной задачи к прямой задаче для разрешающей системы. Определение функционалов
в локальных обратных задачах
§ 4.4. Определение точных инвариантно-групповых решений с помощью метода
группового расслоения
Глава 5. Некоторые неклассические постановки: прямые и обратные задачи для уравнения смешанного типа; дискретные обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников
§ 5.1. Формулировка и теорема единственности прямой задачи
§ 5.2. Представление решения прямой задачи 5.1.1. Случай K{h + 0) ф 0,
K(h- 0)#0
§ 5.3. Случай уравнения Лаврентьева — Бицадзе. Формулы для решения прямой
задачи 5.1
§ 5.4. Обратные задачи. Случай K(h + 0) ф 0, K(h — 0) ф
§ 5.5. Общий случай поведения K(z) в точке z = h, где меняется тип уравнения
§ 5.6. Другие задачи
§ 5.7. Физическое содержание прямых и обратных задач для уравнения смешанного
типа
§ 5.8. Форма решения прямой задачи с точечными источниками, используемая в
обратных задачах
§ 5.9. Вспомогательные результаты для случая 1, связанные с Т-системами
§ 5.10. Обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников
§ 5.11. Возможные области применения обратных задач об определении произвольного множества точечных источников
Заключение
Литература
Приложения
1. Об ограничениях, которым должны удовлетворять переменный параметр п2(х) = 1/с2(ж) в волновом уравнении, уравнении Гельмгольца и уравнении эйконала в силу определяющих уравнений алгебры Ли основной группы, допускаемой этими уравнениями в пространствах (х, y,t,u = и1), (х, у, z,t,u
и1), (х,у,и = и1)
2. Основная группа точечных преобразований, допускаемая волновым уравнением в пространстве (x,y,t,ul = и, и2 = 1/с2) и (x,y,z,t,v} = и, и2 — 1/с2)
3. Основная группа точечных преобразований, допускаемая уравнением Гельм-гольца в пространстве (x,y,t = к2,и1 = и,и2 = п2), (х,у,их,и2), (x,y,z,v},u2)
4. Основная группа, допускаемая уравнением эйконала в пространстве
(х,у, и1 = т,и2 = п2) и (х, у, t,и1 = т,и2 = п2)
Основные обозначения
Буквенные символы:
8j = < ’ ' — символ Кронекера
О, г ф j
х, и, а — скаляры х, и, а, а — векторы
а ■ Ъ или (о ■ Ь) — скалярное произведение векторов щ — частные производные иХ{ = дu/дxi Щк — частные производные иХ1Хк = д2и/дх{дхк Ди — лапласиан ихх + иуу функции и(х, у)
А ПТТРПЯ.Т'ПП ГГяттлягя ПП Т. 11 А
их, иу, щ, ихх, иху, utx, ... — частные производные функции и(х, у, t) по х, у, t
grad и — градиент скалярной функции и
gradXyu(x,y,t) — градиент скалярной функции u{x,y,t) по переменным х,у, равный ~ди ~ди
1 дх + 3 Ну'l' J ~~ °РТЫ П° Х’У' div Т — дивергенция вектора Т max (а, Ь) — наибольшее из чисел а и b
Ck(D) — пространство вещественных функций, определенных в D, к раз непрерывно дифференцируемых, 0 ^ к < оо.
С — знак включения
£ — знак принадлежности элемента множеству П — пересечение множеств и — объединение множеств —> — символ отображения
ФФ- — символ эквивалентности (равносильности) равенств или уравнений Используется правило записи сумм одночленов по повторяющемуся индексу без знака суммы.
В нумерации пунктов, теорем, лемм, следствий и формул первое число есть номер главы, второе — номер параграфа в данной главе, третье — номер пункта, теоремы, леммы, следствия и формулы в данном параграфе. Например, (3.2.1) означает формулу 1 из параграфа 2 главы 3. В приложениях используется двойная нумерация. В нумерации формул из введения к главе второе число есть нуль.
Основные применяемые обозначения и термины группового анализа поясняются в § 1.2.
Теоретико-множественные символы:
Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу

10°. Результаты этого исследования переносятся на исходную (прямую или обратную) задачу. Для этого найденные функции (р подставляются в автоморфную систему АС как систему относительно и1, и2. Система АС, как правило, сильно переопределена и может содержать более простые, например, обыкновенные дифференциальные уравнения. Поэтому ее интегрирование может быть более простой задачей. В итоге определяем решение исходной задачи в случае первого варианта п. 8° и точные инвариантные решения уравнения Е во втором варианте п. 8°.
Здесь уместно сделать следующее замечание. Обычно при исследовании прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений множество ЛЕ всех решений уравнения Е рассматривается как однородное, и все решения априори равноправны. При описанном же подходе (п. 1°-10° второго варианта) не игнорируется, а учитывается “слоистый” характер семейства ЛЕ, и решение прямой или обратной задачи приобретает ступенчатый вид: сначала определяем класс (орбиту, “слой”) эквивалентных решений, содержащий искомое решение, а затем это решение внутри класса (орбиты, “слоя”).
Изложенная выше в п. 6°° и в п. 1°-10° (два варианта) схема применима к любым
дифференциальным уравнениям, линейным и нелинейным, скалярным и векторным. Эффективность ее зависит прежде всего от широты группы й, допускаемой данным уравнением в форме (1.3.2). Видимо, достаточно часто группа С является бесконечной. Во всяком случае, как показано в прил. 2-4, это имеет место для таких классических уравнений, как волновое, Гельмгольца, эйконала и других, описанных в п. 2.5 гл. 2.
Помимо двух описанных в п. 1°-5°, 6°° и в п. 1°-10° схем, могут быть и другие варианты применения группового анализа на основе группы, допускаемой уравнением в пространстве (ж, и1, и2). Например, в п. 4.1.11 гл. 4 выводятся замкнутые уравнения для функций х и и2 как функций групповых переменных Л'.
Описанный в схеме 1°-10° подход можно назвать методом группового расслоения. При “прохождении” п. 2°-1СГ требуются самостоятельные исследования, так как ранее групповое расслоение, как отмечалось во введении, проведено для небольшого числа уравнений. Другими словами, метод группового расслоения, как и, например, метод разделения переменных, требует обоснования в каждой рассматриваемой задаче.
Обращение описанной схемы и обратная задача группового расслоения
Несомненно, описанную схему во втором варианте (на основе группового расслоения) можно использовать в обратном направлении. Пусть относительно некоторой системы Л нелинейных дифференциальных уравнений известно, что она является разрешающей системой ЛЕ группового расслоения некоторого уравнения Е относительно группы б, допускаемой уравнением Е. Тогда для решения той или иной задачи для системы Л можно использовать теорию соответствующей (прямой или обратной) задачи для уравнения Е. Такой подход аналогичен известному методу интегрирования нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза и других нелинейных эволюционных уравнений с помощью обратной задачи рассеяния, в которой прямая задача для нелинейного уравнения КдФ сводится к известной обратной задаче для линейного уравнения Штурма — Лиувилля [96, 276, 289, 307]. Отличие же состоит в том, что в методе обратной задачи рассеяния “парность” или “двойственность” (по выражению А. С. Алексеева [4]) прямой и обратной задач соответствует представлению Лакса исходного эволюционного уравнения, а в данном групповом подходе парность или двойственность порождается групповым расслоением. Впрочем, в силу доказанного в § 3.2 наличия представления Лакса у разрешающей системы ЛЕ' группового расслоения уравнения Е можно использовать также и “парность” исходной (прямой или обратной) задачи для Е и некоторой задачи для дифференциальных операторов Ь, А, дающих представление Лакса соответствующей системы ЛЕ.
В связи с возможностью такого обращения описанной схемы возникает следующая постановка (впервые сформулированная в [158]), которую естественно назвать обратной задачей