О краевой задаче Римана с матрицей, допускающей бесконечные частные индексы, и ее приложениях

• Автор: Яцко, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 125 c. : ил

ГЛАВА I. Векторная краевая задача Римана с бесконечным

индексом в пространствах СР(г)

§1. Некоторые сведения из теории целых функций и

другие вспомогательные предложения

§2. Векторная краевая задача Римана с бесконечным

индексом в классах 1_.^(г05рИ

ГЛАВА 2. Краевая задача Рішана с бесконечным индексом

на вещественной прямой

§3. Однородная задача Рішана

§4. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом

§5. Краевая задача Римана с треугольной матрицей

ГЛАВА 3. Приложения теории векторной краевой задачи
Римана с бесконечным индексом
§6. Характеристическая система сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом на
вещественной оси
§7. Исследование некоторых случаев обобщённой краевой задачи Римана с бесконечным индексом
§8. Решение некоторых смешанных краевых задач для оператора Лапласа сведением к матричной задаче
Римана с бесконечным индексом
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа относится к исследованиям в области краевых задач для аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений. Большинство этих работ, ставших уже классическиш, посвящено краевой задаче Римана в скалярном и матричном случаях.
Краевая задача Римана
Ф (О (•ь)+ ^.(*о ( од )
впервые встречается в работе Римана о дифференциальных уравнениях с алгебраическими коэффициентами [63] . Задача формулируется Ри-маном сразу для случая к пар искомых функций.
Первое решение однородной краевой задачи ( 0.1 ) ( где ) дал Гильберт. В дальнейшем Племель [90], Пикар [89] , Привалов И.И. [62] , идя по пути, подложенному Гильбертом, сведения задачи ( 0.1 ) к интегральному уравнению и используя в качестве аппарата интегралы типа Коши, получили альтернативные утверждения о разрешимости задачи ( 0.1 ) ( для коэффициентов С^-ь) и Сг 00). Метод этот до сих пор применяется при рассмотрении задачи Римана со многими неизвестными функциями.
Полное решение задачи Римана для односвязной области было дано Гаховым Ф.Д. в 1936 году. В 1941 году Хведелидзе Б.В. обобщил это решение на многосвязную область.
Задача Римана с конечным индексом
**й[ад|.й(0]г.Х |[с1[«г§й(ь)], Ш*0
изучена сравнительно полно. С этой задачей тесно связаны сингулярные интегральные уравнения, некоторые из которых удаётся решить в замкнутой форме [64] . В последние 20 лет интенсивно развивалась и теория краевых задач с бесконечным индексом (#= ).
Характерной особенностью задач с бесконечным индексом .является то, что при их исследовании возникает необходимость широкого использования теории целых и мероморганых функций [18] ,[4б]

В случае бесконечного индекса поведение канонической функции в окрестности её исключительной точки ( бесконечно удалённой точки ) аналогично поведению аналитической функции в окрестности сріественно особой точки. Оказывается, что любое ограниченное решение однородной задачи ( 0.1 ) представимо в виде
Ф й=ХМ?(г). 10'2)
Учитывая выше изложенное, отсюда следует, что множество линейно независимых решений однородной задачи ( 0.1 ) или условий разрешимости неоднородной задачи ( 0.1 ) ) описывается
здесь уже не многочленом, а целой функцией. Поведение этой функции в окрестности её существенно особой точки весьма многообразно, а это вызывает при исследовании краевых задач серьёзные

трудности. В формуле ( 0.2 )^(і) - некоторая целая функция.
При конечном индексе 32. Хауґ 'при Ї-+ ©о , т.е. каноническая функция Ха) по всем лучам&П^^СОпЗІ). изменяется одинаково: стремится к нулю или бесконечности степенного порядка и . В случае бесконечного индекса дело обстоит иначе. В этом случае по одним направлениям Х(г) имеет убывание, а по другим рост экспоненциального порядка. Решение задачи Римана с бесконечным индексом в общем случае сводится к отысканию таких целых (функций 5(2) , которые достаточно быстро убывают по тем направлениям, где Ха) неограничена, и одновременно не слишком быстро растут там, где ха) убывает.
Первые исследования по теории краевых задач с бесконечным индексом выполнены Говоровым Н.В. N-[26] . Он впервые рассмотрел краевую задачу Римана ( 0.1 ) с коэффициентом ЬгСЬ) , подчинённым условию
а гор Сг(1) = + «хэ (-«*>).
Такую задачу Говоров Н.В. называет задачей Римана с плюс(минус)-

независимых решений.
6. Рассмотрим задачу Римана в случае, когда отличные от нуля элементы0.^(4) матрицы (^(-О удовлетворяют условиям:
}№<еН$(.[-о°,оЗ, , ^(-°°)= >>1], 3)к- (■»•О**»] ,
^ + >0 , Ол Р(* я£^ я .
Здесь аргументы элементов имеют, вообще говоря, различные порядки роста, однако эти порядки не превышают единицы. Решения ищем в тех лее классах, как и выше.
Порядок канонического решения ( столбца ) обозначим
через -= ; индикатор этого решения при порядке Р] - через
*4 (в) . Как и для случая ?$-р , мы будем предполагать, что в
г *
формуле дщя индикатора функции Л] (О стремление к пределу равномерно по 9 . Факторизуя матрицу йОО , мы получим равенство
( 3.23 ). Мы ищем решения задачи ( 3.1 ) с экспоненциальной ско4> 4.
ростью убывания на бесконечности I элементы ФГ(20 вектора Ф (г)
имеют асимптотическую оценку I ^ ^грк е*Р (“с^к12'^'Рк) ’ Где
^>0 , ^ > 0 ). Обозначим ф“ (а)-[Хо(г^ ^(г) , ч?*0) -

] -ый элемент вектора ЯР. (г) . Тогда целая функция 5^ (г) удовлетворяет условиям
при разрешимости ( 3.24; ) ( где полагаем P=Pj ) и приР$. = р: ;

еслир^>р. , то соответствующая целая функция0 ; npiip^Pj
j J J
выполняется асимптотическая оценка на контуре
При имеем, что
Если мы ищем решения, ограниченные на бесконечности, то це-