К Lp-теории эллиптических краевых задач в трехмерных областях с ребрами

• Автор: Адабуну Деду
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 177 с. : ил.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

1.1 Обобщенная постановка задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа

1.2 Обзор Lp-теории эллиптических краевых задач в обобщенной постановке

2 ЯВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ

2.1 Присоединенные функции Лежандра

2.2 Метод Фурье в классе LJ, для двугранного угла

3 £р-ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

3.1 Явный вид решений задач Дирихле и Неймана

3.2 Весовые оценки

3.3 ip-оценки обобщенных решений задач Дирихле и Неймана

4 ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

4.1 Единственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана
4.2 Неединственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана
4.3 Существование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана
4.4 Несуществование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана
5 ОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ
5.1 Задача Неймана в ограниченных областях
5.2 Задача Дирихле в ограниченных областях
Литература
Список обозначений
Указатель рисунков
Указатель терминов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Рис. 1.1: Двугранный угол Я = Г„ х Е.
Классическая постановка задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона предполагает достаточную гладкость входящих в задачи данных. Однако, многие математические модели физических процессов сводятся к задачам с негладкими данными. Если при этом классическая постановка и возможна, то задача в классической постановке зачастую оказывается некорректно поставленной. Наиболее естественным выходом из такой ситуации оказалось расширение класса решений путем введения понятия обобщенного решения краевой задачи. Так, обобщенные решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона определяются с помощью интегральных тождеств, содержащих в себе во-первых само уравнение Пуассона, а во-вторых краевые условия задачи, если существование

соответствующих этим краевым условиям следов не гарантировано априори классом рассматриваемых обобщенных решений.
В этой работе решаются вопросы существования и несуществования, единственности и неединственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана в соболевском классе Тр, т.е с первыми производными из Ьр: для уравнения Пуассона в ограниченных и неограниченных трехмерных областях с ребрами — в частности, в двугранном угле 12 = Га х М, где Га — плоский угол с раствором а Е (0,2л]. Рассматриваемая обобщенная постановка как задачи Дирихле, так и задачи Неймана эквивалентна разложению пространства Лебега ТР(12;К3) вектор-функций V : 12 —» М3 в прямую сумму соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Тема диссертации является непосредственным продолжением исследований, начатых автором в выпускной работе и в магистерской диссертации.
Тр-теория краевых задач математической физики представляет собой важный самостоятельный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разложение пространства Лебега £Р(12;К3) в прямую сумму замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций, соответствующих краевым условиям Неймана, обычно называют Тр-разложением Гельмгольца. В свою очередь, Тр-разложение Гельмгольца представляет значительный интерес и само по себе, так как на нем основываются многочисленные подходы к решению широкого круга задач механики несжимаемой сплошной среды. В частности, как установлено в работе М.Е. Боговского [10], разрешимость начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса в классе сильных решений с производными из Ьр для неограниченной области с гладкой некомпактной границей <912 эквивалентна Лр-разложению Гельмгольца. При этом для гладкой <912 особенностью границы типа ребра является совпадение 312 с двугранным углом в некоторой окрестности бесконечности. Таким образом, особенность некомпактной гладкой <912 связана с ее геометрией на бесконечности и значением показателя р.
В случае р — 2 справедливость ортогональных разложений £-2 в

Теперь рассмотрим случай, когда 0 < ц < 1. Пусть существует такая функция / € Ь2(-1,1), что ||/|и2(_1,1) ф 0 и
Р»к{г)/^)<1х = 0, Чк> 0.

(2.1.12)

Заметим, что (l — г2) 2 f(z) G L{—1,1), так как
Jl |(1 - z2)-ïf(z)| dz = £ |(1 - z2)-> | |/(£)|^ < r(l-/z)||/(^)|U2(-i,i).
Из предположения (2.1.12) имеем
од ri „ ,,
ЩЗ ду у х (i ~ 2 ) 2 f(zPk(z) dz = 0 v к > 0. Отсюда находим равенство

(1 — г2)~2 f(z)zk dz = 0 / к

Из теоремы Вейерштрасса следует, что
(1 - -г2)“ “/(£)
почти всюду на интервале (—1,1), т.е. / = 0 почти всюду на интервале (—1,1). Из полученного противоречия следует утверждение леммы при 0 < д < 1. Лемма 2.1.3 доказана.
Лемма 2.1.4. При вещественных /и < 1 система присоединенных функций Лежандра 0 ортогональна в Ь2(—1,1).
Доказательство. Обозначим через {и, и) скалярное произведение в вещественном Ьг(—1,1). Пусть А* = щ-(1 + щ-). Функция тогда
удовлетворяет равенству
с дифференциальным оператором