Алгебро-аналитические методы исследования уравнений математической физики

• Автор: Нещадим, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 272 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Кинетические уравнения: алгебраические и дифференциальные тождества, обратные задачи, точные решения
§1.1. Обратные задачи для кинетических уравнений. Алгебраические и дифференциальные тождества
§1.2. Свойства полученных тождеств и некоторые приложения
§1.3. Дифференциальные тождества и теорема единственности решения обратной задачи для уравнения Больцмана-Власова
§1.4. Некоторые представления решений и коэффициентов кинетического уравнения Больцмана-Власова
§1.5. Тождества и обратные задачи для квантового кинетического уравнения
§1.6. Динамическая модель этнической системы. Формулы в прямых и обратных задачах
§1.7. Дифференциальные соотношения в обратной задаче определения метрики по годографу
Глава 2. Аналитические методы в теории обратных задач
§2.1. Аналитические методы в теории обратных задач для гиперболических уравнений
§2.2. Аналитические методы в теории обратных задач для параболических уравнений
§2.3. Аналитические методы в нелинейных задачах теории управления
§2.4. Об обратных задачах математической физики с параметром .
§2.5. Ветвящиеся процессы, отображения и обратные задачи
§2.6. О единственности решения интегрального уравнения первого рода над вещественными конечномерными алгебрами с делением
Глава 3. Групповые свойства: точные решения, обратные и краевые задачи, вопросы классификации
§3.1. Групповой анализ и формулы в обратных задачах математической физики
§3.2. Законы сохранения для системы двух уравнений с двумя пространственными переменными
§3.3. Законы сохранения для системы с одной пространственной переменной
§3.4. Преобразования эквивалентности и некоторые точные решения системы уравнений Максвелла
§3.5. Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шре-дингера
§3.6. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой
§3.7. Функционально-инвариантные решения уравнения Монжа-Ампера
§3.8. Характеризация одномерных касательных преобразований в терминах дифференциальных соотношений
§3.9. Дискретные преобразования дифференциальных уравнений второго порядка
§3.10. Скобки Ли на пространстве гладких функций из М1 в М
Заключение
Литература

Введение
В работе развиваются алгебраические и аналитические методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений математической физики; разрабатываются приложения дифференциальных тождеств и преобразований для нахождения точных решений, доказательства теорем единственности и существования, интегрирования переопределенных систем.
Актуальность. Функция распределения является основным объектом исследования в статистическом моделировании системы многих частиц. Она удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана [51, 68, 120, 143]. Прямые задачи для кинетического уравнения заключаются в определении функции распределения при заданных дополнительных данных, например, для уравнения переноса — плотности падающего на среду потока при всех известных коэффициентах [13, 75, 76, 84, 115, 120, 143, 151, 221, 253, 258].
Обратные задачи, как правило, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения по условиям, составляющим прямую задачу, и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.
Изучение обратных задач для уравнения переноса началось с работ Г.И. Марчука [148, 149] (смотри также [153]) посвященных постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. М.В. Масленников [154] рассмотрел стационарное односкоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал обратную задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя.
В книгах Р. Веллмана, Р. Калаба и Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе (см. [53, 144]) обратные задачи для уравнения переноса рассматриваются с точки зрения получения численных результатов. Для уравнения переноса данными для обратной задачи, например, являются начальное условие, условие нулевого входящего потока и финальное определение. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени, постановки и обсуждения обратных задач имеются в работах А.И. Прилепко, А.Л. Иванкова [224, 226, 228]. В работах А.И. Прилепко, А.Л. Иванкова, Н.П. Волкова (см. [225, 227]) доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для уравнения переноса в предположении, что диаметр рассматриваемой области достаточно мал (диаметр оценивается через данные задачи). В работе А.И. Прилепко, И.В. Тихонова [229] рассмотрены обратные задачи определения плотности источников и сечения рассеяния для уравнения переноса (по начальному условию, условию нулевого входящего потока и финальному определению). Доказаны теоремы единственности в предположении, что есть ограничение на порядок экспоненциального роста полугруппы, порождаемой оператором переноса. Общая схема определения неоднородного слагаемого в абстрактном эво-

1) аМ = СД
2) Р(А) = аО0*) _ 0С(:Д) - д^к~С]гЬ)
3) 2С}кМ = в1С^ 1 + 0?С[Ь1 - вкС^ л, (дС1> Л
4)9=(а^ “°) зї?
г. , /5С^ Л двг (дск% А л 50 5РУ
^ 9 ( 5х* “ ] 5я> + ( дхк й ) + 5а5 + дх] ’
6) ^(ч) = ^(*1*1 ~вз) + ~ЯкМ + вСм + Рм. ох* ох*
Пример 6. Рассмотрим уравнение
/дНдъи дНдт _
г=і V дрг дqг дqг дрг)
Здесь п = 2т, х1 = q1, ...,хт — ф71, хт+1 = р1, ...,х2т — рт.
Для матрицы
ґі (ті т Рщ
Со = С ) — Е
1ит 0у т
получим тождество с квадратичной частью
„ дги дій ,дги
9аїдї + яаї'0+9'
_ д2Н 5гт дги д2Н дъи дw
г=г дргдрз дql 5ф г=1 дqгдqз др1 дрР ^
+р({Я, гг})2 — р0гт {Я, гс} — р {Я, 0} гг2.
где а1 = р0 р = р(х) — произвольная функция от ж1,..., хп, в1 — коэффициенты соответствующего векторного поля и
, , _ /5Я5ге дН дъи
* ’ _ ~і 5р^5ф _ 5ф 5р*
({Я, га})2 - 0ш {Я, гп} - {Я, 0} и? = (00Мгт2) +
Последние три слагаемых при р = 1 можно переписать в виде

+ ({Я, ш} + 2 + (0 {Я, А} - Я {Я, 0} -^(2А- I)2) нА
Здесь А, В — произвольные функции связанные равенством А + В = 1. Отметим,
что слагаемое —— (00-5.Агс2) имеет дивергентный вид и при интегрировании по ко-охз >■ '
ординатному параллелепипеду обращается в нуль (при условии гг = 0 на границе параллелепипеда). Для положительной определенности квадратичной формы достаточно потребовать выполнение неравенства

0 {Я, А} - В {Я, 0} - — (2А - I)2 > 0.