Локальная аналитическая классификация уравнений соболевского типа

• Автор: Пазий, Наталья Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 128 с.

1 Трансверсально сингулярные системы соболевского типа
1.1 Основные определения
1.2 Теорема о предварительной нормальной форме
1.3 Сильная эквивалентность
1.4 Нормальная форма трансверсально сингулярных систем индекса
1.5 Вторая теорема о предварительной нормальной форме
1.6 Системы индекса к, 2 < к < п
1.7 Системы индекса к, к > п
2 Невырожденные нетрансверсальные системы соболевского типа
2.1 Предварительные сведения
2.2 Определение невырожденной нетрансверсальной системы
2.3 Двумерные системы
2.3.1 Теорема о предварительной нормальной форме
2.3.2 Нормальная форма невырожденных нетранс-версальных систем
2.4 Многомерные системы

3 Трансверсально сингулярные системы соболевского типа в бесконечномерных банаховых пространствах
3.1 Определения и предварительные результаты
3.2 Предварительная нормализация сингулярных систем
3.3 Простая сингулярная система соболевского типа
3.4 Нормальные формы трансверсально сингулярных систем различных индексов
4 Системы постоянного ранга
4.1 Системы с ограничениями
4.1.1 Невырожденный случай
4.1.2 Индекс трансверсальной системы с ограничениями
4.1.3 Системы с ограничениями индекса
4.1.4 Системы с ограничениями индекса к > 1
4.1.5 Нетрансверсальные системы с ограничениями
4.2 Нормальные формы систем постоянного ранга
4.2.1 Невырожденный случай
4.2.2 Системы с постоянной матрицей
4.3 Примеры
Список цитированной литературы

Постановка задачи. Основным объектом исследования диссертации являются дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, неразрешенные относительно производной и линейно зависящие от производной. Два таких уравнения называются эквивалентными, если некоторая замена координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями первого и второго уравнений, переводя их друг в друга. Требуется получить классификацию уравнений указанного вида.
Дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно производной и линейно от нее зависящее, имеет вид
Ь(х)х — у(х), (0.0.1)
где Ь(х) — семейство операторов, зависящее от точки пространства, у(х) — векторное поле. В данной работе решается локальный аналитический вариант задачи о классификации уравнений (0.0.1). Для локальной классификации случай, когда оператор Ь(х) является обратимым в каждой точке пространства, не представляет исследовательского интереса, поскольку тогда уравнение (0.0.1) (локально) редуцируется к уравнению
х = уу(х), где ги(х) = Ь~1(х)у(х). (0.0.2)
Локальная же классификация этих уравнений полностью изучена. Поэтому нас будут интересовать уравнения вида (0.0.1) с необратимым (в некоторых точках) оператором Ь(х). Согласно устоявТеорема 2.1.1 (Пуанкаре—Дюлак, [3]) Уравнение (2.1.1) формально эквивалентно уравнению вида
у = Ау + ш(у),
где все мономы ряда из резонансные.
Определение 2.1.3. [3] Набор собственных чисел А принадлежит области Пуанкаре, если выпуклая оболочка п точек (Ар А„) на плоскости одного комплексного переменного не содержит нуля. Набор собственных чисел А принадлежит области Зигеля, если нуль лежит внутри выпуклой оболочки п точек (Ах,... , Ап).
Теорема 2.1.2 (Пуанкаре, [3]) Если собственные числа линейной части голоморфного векторного поля в особой точке принадлежат области Пуанкаре и нерезонансны, то поле в окрестности особой точки биголоморфно эквивалентно своей линейной части.
Определение 2.1.4. [3] Точка А = (Ах,... , Ап) € С" называется точкой типа (С, и), если при любом в
|А8 — (т, А)| > |^р
для всех значений мультииндекса т с неотрицательными компонентами, |ш| > 2.
Теорема 2.1.3 (Зигель, [3]) Если собственные числа линейной части голоморфного векторного поля в особой точке образуют вектор типа (С, г/), то поле в окрестности особой точки биголоморфно эквивалентно своей линейной части.
Определение 2.1.5. [7, с. 78] Набор А £ С" несоизмерим по Брюно, если существуют такие положительные С и е, что
|(А, к) — А6| >Се-№~£