О граничной регулярности решений системы магнитной гидродинамики

• Автор: Вялов, Виктор Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

Список обозначений

1 Линейные оценки и теорема о существовании подходящего слабого решения

1.1 Существование подходящих слабых решений

1.2 Модификации локального энергетического неравенства

1.3 Оценки для линеаризованной задачи

1.4 Оценки для решений уравнения теплопроводности

2 Регулярность внутри области

2.1 Основной критерий -регулярности

2.2 Условия ограниченности энергетических функционалов

2.3 Критерии регулярности
2.4 Доказательство критерия регулярности в случае малости V?'
3 Регулярность вблизи плоского участка границы
3.1 Основной критерий 5-регулярности
3.2 Условия ограниченности
3.3 Критерии регулярности

3.4 Доказательство ограниченности функционалов в случае условии на Уг и УЯ
Список литературы
Введение
Диссертация посвящена исследованию регулярности решений системы магнитной гидродинамики (МГД). Эта система может быть записана следующим образом
Здесь П С I3 это ограниченная область с границей класса С2, С}т = Є х (О, Т). и : С}т —> К3 поле скоростей жидкости, р : С-4 М давление. Н : С}т -4 К3 напряженность магнитного поля. Данная система описывает движение проводящей вязкой несжимаемой жидкости в магнитном поле. В область примипепия магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты от жидких металлов до космической плазмы. Магнитная проницаемость сред, которые рассматриваются в данных задачах, мало отличается от единицы. Система уравнений (0.1) (0.2) получается из систем Навье-Стокса и Максвелла в предположении, что ток смещения мал и им можно пренебречь (см. [45]).
Сразу же отметим, что данная система является переопределенной, в ней па 7 неизвестных (по три компоненты у V и Н и давление) приходится
(0.1)
(0.2)

Лемма 1.2.1 Пусть с. д, Н подходящее слабое решение системы МГД в <7(1). Тогда для любых векторов «, Ь € и любой функции а € Ь±( — 1, 0) выпо тени неравенство
I Дс(гП)2 + Н(х.02)с1г + 2 I у(|Уё|2 4- |УЯ|2)с/.гг/г
!) Пх(0 1)
< у {(л + д)(|1т1|я|-) + (И- + |я|'->'
!!х((1 1)
+2уй Чу - 2(Я ЩН Уу)}(Ыт
для почти вcext € (—1.0) и любой неотрицательной функцииу: € С((К,!+1). равной нулю в окрестности параболической границы цилиндра. ЗдесьТ>—
V — а. Н = Н — Ь.Т{ = у — а.
Доказательство. Заметим, что все нелинейные слагаемые в уравнениях (0.1) (0.2) принадлежат пространству Ьч л((2). Тогда г. Н € И'.,'1, ((Д. у 6 И 1т(<7) и уравнения выполнены почти везде в С}.
Локальное энергетическое неравенство дает
У Д|ё(.г.О + а2 + Н + Ь2)дх + У Д|Уё|2 + |УЯ|2)г/.гг/г
!! Ох (0./)
< У {у/ + Д<р)(|е + «I2 + |Я + 6|~) + V V<р(1+ 2у)
!>х(0 /)
-г У|Я|2 + 2(г> х Я) (Уд х Н)}(1хс1т.
Интегрируя по частям и пользуясь уравнениями, получим
2 У (уд + Д(у)Г адхдт
Ох«) О
= 2 У у (т. 1)с(.г, 1) адх + 2 У !уН (—Ту + АТ)с1х(1т
я Пх((1.р