О гиперболических регуляризациях законов сохранения

• Автор: Палин, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
1 Линейный анализ. Уравнение состояния и /«-корректность по Чепмену-Энскогу
1.1 Постановка задачи и гипотеза Чепмена-Энскога. Сведение к матричному квадратному уравнению
1.2 Построение рептения матричного квадратного уравнения при
|Л| ф
1.3 Обобщение на случай необратимой матрицы Л. Явная формула
для решений и их число
1.3.1 Явная формула для решений матричного уравнения Ри-катти
1.3.2 О числе решений
1.4 Непрерывность решений матричного квадратного уравнения
1.5 Уравнение Ляпунова и метод построения корректора (полное разделение динамик)
1.6 Пример: существование, полного разделения динамик для гиперболической регуляризации уравнения Хопфа
1.7 Разложение решения в сумму трех слагаемых. Определение и-корректности но Чепмену-Энскогу
1.8 Условие щели и существование притягивающего многообразия
1.9 Ослабление жесткого условия щели. Условие согласования носителей для начальных данных
1.10 Ослабление жесткого условия щели. Равномерное условие вырожденной щели
1.11 Ослабление жесткого условия щели. Условие разделения фаз
1.12 Примеры задач, для которых существует разделение динамик,
но пет притяжения решений
2 Проекция Чепмена-Энскога в нелинейном случае

2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения
2.2 Метод последовательных приближений
2.3 Построение нелинейного оператора проекции Чепмена-Энскога
2.3.1 Случай слабой нелинейности
2.3.2 Более общий случай
2.4 Свойства нелинейного проектора
3 Приложения и дополнительный анализ
3.1 Гиперболическая регуляризация системы уравнений Максвелла
3.2 Двумерная 13-момептная система
3.2.1 Стационарное решение
3.2.2 Линейный анализ
3.2.3 Дисперсионное уравнение
3.2.4 Собственные вектора и собственные значения, стационарный случай
3.2.5 Анализ свойств собственных значений, стационарный
случай
3.2.6 Существование специального собственного подпространства, стационарный случай
3.2.7 Выбор класса начальных данных и утверждения о Ьо-
корректности
3.3 Случай трехдиагопальньтх матриц
3.3.1 Простейшие свойства трехдиагопальньтх систем
3.3.2 Существование специального собственного подпространства для трехдиаготтальных систем
3.3.3 Условия существования проектора, обладающего свойством Ао-корректности гю Чепмену-Энскогу
3.4 Связь энтропии с существованием симмстризатора для норма,-лизованной системы законов сохранения
3.5 Пострение энтропии для системы из пяти уравнений, одномерный случай
3.6 Квантование

Введение.
Диссертация посвящена исследованию поведения на больших временах решений задачи Коттти для гиперболических регуляризаций законов сохранения (в терминологии C. Bardos) или систем законов сохранения с релаксацией (в терминологии Gui-Qiang Chen, Levermore C. D) см. например [7]. В одной из последних работ Максвелла была поставлена задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов, т.е. системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости из кинетического уравнения. J1. Больцман в статье "О максвелловском методе вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов" делает следующее предположение: "явствует с очевидностью, что незадолго до смерти он, должно быть, предпринял длинное и детально разработанное исследование этого вопроса, которое, однако, не было опубликовано." Насколько известно, если это исследование и существовало, то так и осталось в виде рукописей. Важность подхода Максвелла была понятна специалистам высокого уровня, каким, безусловно, был Больцман, по могла быть не оценена "широкой научной общественостью". Повторит!. вычисления, о которых говорит Больцман, физикам, по видимому, в то время не удалось, поскольку первая работа Чепмена, в которой ставилась та же задача и проводился анализ интеграла столкновений появилась спустя 28 лот после указанной статьи Больцмана (и через 43 года после самой работы Максвелла). Задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов определила математические проблемы кинетики для гиперболических регуляризаций законов сохранения:
dtUi + divx f(u,v) =0, г — 1
dtVk + дк(и, V) 4- bk(u)v = 0, к = т + 1
Здесь х € Rd, u(x,l) : х К+ —* Ж™, v(x,t) : х М+ —» MN~m, Ь - матрица
релаксации порядка (N — т) х (N — т), потоки
fu, V) е Rd, i = 1

Обозначим

-М1 I и0 О
тт „-М1 ( —Q12Vo
исог = в 0 ),
тт - (
ин - V е~мУо
Тогда решение задачи Копти представлено в виде суммы трех слагаемых:
и — Иен + исог + ин,
причем каждое из слагаемых является решением уравнения (1.1) с некоторыми начальными данными, первое слагаемое соответствует проекции в фазовое пространство консолидированных переменных, второе является поправочным слагаемым, которое описывает влияние начальных данных для неравновесных переменных, а третье является остаточным.
Определение 1.7.1 Будем, говорить, что проектор Р удовлетворяет условию Бг-коррехтности по Чепмену-Энс.когу в классе Н = {(£1о,Уо)} начальных данных, если для всех начальных данных (Ыо, Уо) £ Н найдется То > 0 такое, что для. всех / > То выполнена оценка.
\инШ) р"г-<и I гр -.
где К, 5 > 0 - некоторые константы.
1.8 Условие щели и существование притягивающего многообразия.
Найдем условия, при которых выполнена оценка
\ин\ = о(\иСН\), «->оо,
где под знаком ||/|[ поттимается тторма / в пространстве Т2. Для этого докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.