О бифуркации периодических решений уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием

• Автор: Лысакова, Юлия Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
Введение

1 Абстрактные теоремы о бифуркации

1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер не-компактности

и уплотняющих операторов и теории вращения

1.2 Теорема о разложении собственных значений и собственных векторов уплотняющего оператора в линейном случае

1.3 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Необходимые условия бифуркации

1.3.3 Достаточные условия бифуркации

1.4 Бифуркация из непрерывной ветви решений

1.4.1 Постановка задачи
1.4.2 Обобщенная теорема М.А. Красносельского
1.5 Литературные указания
2 Бифуркация периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием
2.1 Вспомогательные результаты из теории уравнений нейтрального типа

2.2 Аналог теоремы М.А. Красносельского о бифуркации периодических решений из состояния равновесия для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Вычисление оператора Ср
2.2.3 Основные результаты
2.3 Бифуркация из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Вычисление оператора С*
2.3.3 Основной результат
2.4 Литературные указания

Введение.
Актуальность темы. Уравнения с запаздыванием являются важной составляющей теории динамических систем. Они служат для описания большого класса систем управления, для моделирования различных процессов в технике, оптике, физике, биологии. Еще в 60-80 годах XX века уравнения с запаздыванием активно изучались такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядченко, А.М. Зверкин, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, М. А. Красносельский, Ю.С. Колесов, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Система дифференциальных уравнений с запаздыванием нейтрального типа, следуя терминологии из [32], имеет вид:
x'(t) = f(t, Е, W(s)xt, W(e)x') , (1)

/ : M1 x [0,1] X C([-h, 0,Rm) X C([-h, 0], Rm) -> Rm, а выражения xt,x't G C{{—h, 0], Rm) определены следующим образом: xt(s) — x(t + s), x't(s) = x'(t + s), где s € [—/i, 0].
Оператор W{e) действует в пространстве C([—h, 0], Rm) по правилу:
[W(e)u](s) = u(es),
где e G [0,1], s G [~h, 0].
Таким образом, e характеризует величину запаздывания в уравнении (1). Для данного £ G [0,1] величина производной неизвестной функции х в момент времени t зависит от поведения функции а; и ее производной на отрезке [t — eh, t}. Для уравнений с параметром одной из важных задач является исследование критических значений параметра, приводящих к качественному изменению характера процесса, например, рождению предельных циклов или периодических решений из состояния равновесия.

вектор оператора (7*(0), сопряженного оператору (7(0), соответствующий собственному значению 1 и нормированный условием
(е0,9о) = 1- (1-24)
Будем также предполагать, что у оператора (7(0) спектр устроен так, что
ИС(0))/{1}|<р<1, (1.25)
то есть собственные значения оператора (7(0), отличные от 1, лежат в круге радиуса меньше 1. Доказательство того, что данное предположение не является дополнительным ограничением, подробно описанное в [29] для конечномерного случая, применимо и в бесконечномерном случае. Действительно, пусть Е - линейная оболочка всех инвариантных подпространств оператора (ДО), соответствующих собственным значениям д, которые отличны от 1 и удовлетворяют неравенству
М > 1.
Пусть Е2 - линейная оболочка инвариантных подпространств, соответствующих остальным собственным значениям. Обозначим через В линейный оператор, совпадающий с (7(0) на Е и равный нулю на Е2. Очевидно, что 1 не является собственным значением оператора В, и поэтому существует непрерывный оператор (I — В)-1. Покажем, что оператор ід, заданный формулой
В1(е,-) = (/-В)-1[В(г,.)-В]
уплотняет по совокупности переменных с той же константой, что и В. Для этого достаточно заметить, что оператор (I — В)-1 не меняет меру некомпактности. Действительно, если (I — В)-1© = Д, где 0 С В, то 0 = (I — В) А С Д — В А. Но тогда у(0) = х(Д)> так как В ~ конечномерен. Поэтому
х[{1 ~ ВУР(,1] х П) - В)] = Х(В([0,1] х П)),