Спектральные свойства дифференциально-разностных операторов и нелокальных эллиптических задач

• Автор: Подъяпольский, Владимир Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение
I Сильно эллиптические дифференциально - разностные операторы
§1 'Некоторые свойства разностных операторов
§2 Базисность по Абелю системы корневых функций
§3 Пример существования присоединенной функции
§4 Подчиненное возмущение самосопряженного дифференциально - разностного оператора
§5 Гладкость собственных и присоединенных функций
§6 Асимптотика собственных значений самосопряженных
сильно эллиптических дифференциально - разностных
операторов
§7 Асимптотика собственных значений одной нелокальной
эллиптической задачи
II Нелокальные задачи
§1 Нелокальные эллиптические задачи в областях с гладкой
границей
§2 Нелокальные эллиптические задачи в цилиндре
§3 Нелокальная задача с интегральными условиями
Список литературы

Введение
1. В настоящей диссертации рассматриваются спектральные свойства сильно эллиптических дифференциально - разностных операторов и нелокальных эллиптических задач. Изучаются полнота и суммируемость по Абелю системы корневых функций несамосопряженных операторов, порождаемых дифференциально - разностными уравнениями и нелокальными задачами, а также асимптотика собственных значений самосопряженного дифференциально - разностного оператора.
Основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально - разностных уравнений были созданы в работах А.Л. Скуба-чевского [25] - [27], [38]. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмовой, нетеровой разрешимости в пространствах Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Наиболее полное изложение теории краевых задач для дифференциально - разностных уравнений и обширную библиографию можно найти в [38]. Однако вопросы полноты и суммируемости системы корневых функций, а также асимптотики собственных значений остались неисследованными.
Нелокальные задачи изучались рядом авторов. Спектральные свойства нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений исследованы достаточно хорошо (см. [29], [35], [9], [30] и др.). Например, в работе [9] для дифференциальных операторов второго порядка с нелокальными условиями установлены необходимые и доста-

точные условия базисности по Риссу системы корневых векторов. Спектральные задачи для дифференциальных операторов с интегральными условиями были исследованы в работах М. Picone [36], Я.Д. Тамаркина [29], W. Feller [34], A.M. Krall [35], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [10], A.A. Шпаликова [30] и ряда других авторов. В этих работах рассматривались случаи атомарной на концах интервала меры. Были получены результаты о разрешимости, полноте и базисности системы корневых функций.
Дискретность и угловая структура спектра нелокальных эллиптических задач, а также оценки резольвенты были установлены A.J1. Ску-бачевским [24]. Однако, асимптотика собственных значений, полнота системы корневых функций и суммируемость разложений по корневым функциям многомерных нелокальных задач практически остаются неисследованными. В связи с этим отметим работы F. Browder [33], М.А. Мустафина [17], [18] и Е.И. Моисеева [15], [16]. В [33] получен первый член асимптотики спектральной функции и функции распределения собственных значений самосопряженного в L2(Q) оператора, порожденного нелокальной эллиптической задачей. Кроме того как известно (см. [39], §§13, 21), нелокальные задачи как правило являются несамосопряженными. Однако условия существования такого оператора не были приведены. В работе [17] рассмотрена задача Бицадзе -Самарского для оператора Лапласа
Аи(х,у) + и(х,у) = 0, ((ж,у) £ (0,2) х (0,1))
и{х, 0) = и(х, 1) = 0, (же (0,2))
и(0,у) +и{2,у) =0, (уе (0,1)) и(х0,у) +и(1 4- ж0,у) = 0, (у €(0,1)).
Явно вычисляя собственные значения и корневые функции задачи (0.1) методом разделения переменных и применяя результат работы [9], доказана базисность по Риссу в Л2((0,2) х (0,1)) системы корневых функций задачи (0.1) при Жо С (0,1), ж0 ф 1/2. В работе [18] рассмотрена задача Бицадзе - Самарского для равномерно эллиптического оператора второго порядка в n-мерной ограниченной области. Доказана базисность по Абелю системы корневых функций порядка а € (п + 1, п + 2).

В (5.5) суммирование производится по а таким, что |а| < 2т, ] < ап (.) = 1,
В силу того, что кр1 — 1гч1 (1 = 1
Т,и-1)Ф)+1(К'ЧТ>ИКР,У)У
= ЕЕ(-1)'’,11,Г,г|7(л..1»'')1, = - +1 и).
5 С¥
Так как и € И'гт(()), имеем
= ®:-УЧ7, 7>;-ид, = 0 (» = !>,«) (5.7)
для 0 < скп < т — 1, § = 1,2. Используя (5.7), получим из (5.6)
£(_1)еМ + 1рт+,-(Вру5)|7 = (Яар0Щ7+
+ £ £(-1)М5)Р_т+;Т>“/'(ла.1 IV*)|7 а - 0

(5,8)
где Рр(ж) = Раро(£) для ск = (0
2т — j < ап < 2т, — 1, во второй группе по |ск| < 2т, 2т — j < ап. Используя формулу Лейбница и (5.7), получим при
У2(-1)<‘М+>ВрР”1/*|7 = У] В0„©"И"|7, (5.9)

где а = (0,