Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными граничными условиями

• Автор: Оганян, Вагаршак Айастанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 71 c. : ил

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ СЛАБО СВЯЗАННЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § I. Исследование неоднородной задачи Дирихле для эллиптических систем (I) в классе разрывных
функций
§ 2. Исследование однородной задачи Дирихле для эллиптических систем (I) в классе разрывных функций

§ 3. Задача Неймана для эллиптических систем (I) в

классе разрывных функций

§ 4. О существовании решения задачи Дирихле и Неймана

для системы (I) в полуплоскости, когда граничная

функция имеет произвольное поведение в конечном

числе точек
Глава II. ЗАДАЧА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
§ I. Некоторые вспомогательные предложения
§ 2. Исследование задачи
ЛИТЕРАТУРА

I. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению краевых задач Дирихле, Неймана и Пуанкаре для эллиптических систем
Ли28+ Си1г = о, (I)
где Я , В , С - постоянные, вещественные квадратйые матрицы п -го порядка, а вектор-функция и(х,у) = _ искомое вещественное решение.
В работе эти задачи рассматриваются в том случае, когда граничная вектор-функция имеет особенность в конечном числе точек, причем особенность необязательно слабая.
Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа. В монографии [1] И.Н.Векуа в односвязной области £ рассматривает линейные уравнения второго порядка эллиптического типа:
Ли + Х(х>2) их + У(ХЛ) ^ + 7:(ГЬ¥]и = о, (2)
где А - оператор Лапласа, ХСх,3) , У(Ц у) , 2) - целые действительные функции своих аргументов, гссх^) - искомое решение. Там же доказано, что всякое действительное решение этого уравнения можно представить в виде
и(х^) = Цг[°£(г,2) <£(*) + //(2ХХ) <§(-*)*/*] ' (3)

где оС , р - целые функции своих аргутлентов, ф (г) - аналитич-на в Е
Используя представление (3), Б.В.Хведелидзе [2] изучил задачу Дирихле с разрывными граничными условиями для уравнения
(2), когда граничная функция из класса /-р (Г)у) 1 р>1 > $(±) ~ неотрицательная весовая функция.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в классе функций, имеющих особенность на границе области, исследована в работе Н.Е. Товмасяна [з].
Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений являются работы A.B. Бицадзе [4 - 8]. В работе [4J построено общее решение эллиптической системы с главной частью в виде оператора Лапласа и общая краевая задача для такой системы редуцирована к эквивалентной системе однородных сингулярных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует фредгольмовость задачи Дирихле (с гельдеро-выми данными).
В работе А.В.Бицадзе [б] показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нетеровости задачи Дирихле.
В работе Гб], а также в монографии [7] А.В.Бицадзе найдено общее решение эллиптической системы (I) в односвязных и многосвязных областях. На основе полученного представления введены условия слабой связанности системы (I), выполнение которых обеспечивает фредгольмовость задачи Дирихле в классах Гельдера. Этому же вопросу посвящены работы Е.В.Золотаревой [9 - 10], в которых для некоторых классов эллиптических систем вида (I) доказано, что условие слабой связанности системы является необходимым и достаточным условием фредгольмовости задачи Дирихле.
В работе А.В.Бицадзе [в] на простых примерах разобраны принципиальные вопросы о правильности постановок краевых задач для эллиптических систем.
Задача Дирихле для системы (I), когда область "Ь ограничена и граничное условие принадлежит классу Гельдера, была объ-

где oiK И YK - постоянные векторы, входящие в формулы (1.8),
Sj - натуральные числа и Sj = о при J- о, ±i t Z •
В первом параграфе главы I показано, что вектор-функции Uj(x,x) (j-0,±i,±2y>)» определяемые формулой (1.165) удовлетворяют системе (I) и граничному условию
Uj (х, о) = jf. (ос) , Хб (I.I66)
Теперь выберем натуральные числа Sj (j-t ) так, чтобы
ряд (I.I64) равномерно сходился в любой ограниченной подобласти замкнутой области #2,0 .Из равенств (I.I63) и (I.I6Q) следует, что вектор-функцию Uj (X,ä), определяемую формулой (1.165) можно записать в виде
п. s
UjW = Re T.^[rK (4- j ' (I>I67)
J-Z
Обозначшл через clj -число
«/ ■ wTJ*! >
Из (I.I63), (I.I60) и из определения kj(х) (j-o^tiy^ ) следует
^(-^+ов)‘ (I.I68)
Из (I.I67), используя (I.I68) и (1.24), получигл оценку
, /г/5у* l&:il$JOLj
I при (I.I69)
Теперь берем Sj так, чтобы
(±)Ча. «с -L , (I.I70)
U / aj - /j/* '
где ö> 4 - постоянное число.
Тогда из (I.169) имеем