Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке

• Автор: Куликова, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 102 с.

® Глава 1. Задача с данными на параллельных характеристиках

I для уравнения гиперболического типа

§1.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения

§1.2 Задача Лг с сопряжением пределов производных по

нормали

§1.3 Задача Дг с сопряжением дробной производной с

производной по нормали

§1.4 Задача Дг с сопряжением производной по нормали и

дробной производной

‘ §1.5 Задача Дг с сопряжением пределов производной дробного

порядка
Глава 2. Задача Гурса в неограниченной области с весовыми
граничными данными
§2.1 Специальные классы решений для уравнения Б
§2.2 Формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра
I рода с бесконечным верхним пределом
' ^ §2.3 Задача Гурса в неограниченной области с весовыми
граничными данными
Глава 3. Нелокальные краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным
коэффициентом
§3.1 Первая нелокальная задача типа Дарбу в неограниченной
области
§3.2 Вторая нелокальная задача типа Дарбу
Литература

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, теории упругости, пластичности и многих других областях науки и техники. Важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в XX веке сыграли работы Ф. Трикоми [76, 77], Ф.И. Франкля [81], C.JI. Соболева [73], И.Г. Петровского [53], М.А. Лаврентьева [43], A.B. Бицадзе [6, 7], Л. Берса [5], К.И. Бабенко [2, 3] и других.
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными. Эти задачи в разные годы изучали A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарский [9, 68], М.М. Смирнов [71, 72], В.Н. Врагов [22], А.М. Нахушев [50, 51], В.И. Жегалов [27, 28], А.П. Солдатов [74], А.И. Кожанов [35, 36], К.Б. Сабитов [63, 66], O.A. Репин [60, 61], Л.С. Пулькина [57 - 59], их ученики и последователи.
Одну из задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа, вошедшую в математическую литературу под названием Дг, поставил В.Ф. Волкодавов [1]. Задача Дг состоит в отыскании решения уравнения гиперболического типа, когда решение задается на параллельных характеристиках, а условия сопряжения по функции и производной по нормали задаются на линии вырождения. Решение задачи Д2 для различных уравнений и видов областей было получено в работах В.Ф. Волкодавова, Н.Я. Николаева [15], А.Д. Бочкарева [10], Л.А. Лазаренко [45],
А.И. Мельниковой [14], Г.Н. Зайнуллиной [29], Ю.А. Илюшиной [31], Е.В. Ерофеевой [26], Е.А. Энбом [82] и другими.
Содержание настоящей диссертации связано с краевыми задачами для уравнения гиперболического типа, впервые изученного С.П. Пулькиным [56]:
ихх Щу Т ^X б,

к которому он пришел при изучении задачи Трикоми для пространственного уравнения. В работе [56] С.П. Пулькиным построена функция Римана для уравнения Б (и) — 0 и найдено решение задачи Коши с данными и{х, х) = т(х), х Є [0, /г], (их — иу) у=х = м(ж), х Є (0,/і). Методом симметрии относительно линии у = х С.П. Пулькиным построены функции Римапа-Адамара, на основе которых получены формулы решения задач Дарбу и Коши-Гурса.
Будем записывать уравнение Б (и) = 0 в характеристических
координатах ж и у. Пусть В - область, ограниченная прямыми х = О, у = х, у = к. В этой области уравнение 5(и) = 0 примет вид
Я. Р иху + —-(их + иу) = 0, ? = -. (5)
X + у А
В диссертационной работе Л.А. Лазаренко [45] решены в различных областях задачи Ді и Дг. Так, например, на множестве Н = Н и Ні, где Н = {(х,у) : а < х < у < Ь}, Н2 = {(х,у) : а < у < х < Ь}, ею решена задача Ді для уравнения (5) при д > 1. В областях Ні и Н2 были найдены решения задач Дарбу методом Римана-Адамара, а склеивание проводилось но производной по нормали. В этом случае, как и в других случаях в так называемых трапециевидных областях, Л.А. Лазаренко отступала от точки (0,0).
М.В. Коржавиной как в неограниченной области, так и в ограниченной, решались задачи без отступления от точки (0,0), но задачи Коши-Гурса [38]. Аналогичная картина была и в диссертации Л.А. Игнаткиной [30], когда

(1)п+то(1 *Ь ^2)п(&)т /1 (Ь* 5
’ X
Е-1)п+т1 I лупЩгид
(2)„+тп!ш! Д1 +
п, т-0
х [ (у-х)Х1-1(}1-х)-1-Х2-п(1х.
J о
После замены х = вг интеграл будет равен
[ (у — ж)А1-1(/!, — х)~1~>'2~пс1х

= I!,Л'"1 (х ■ и) г1"А’"“ “ Йг) ^Л’"”3112
= ух'-111-1-Ъ-пзВ{1,ВД ( 1 — Л15 1 + Л2 + п; 2;
Тогда
Е^.з) = ,/>-'н-'-ь* ■£ (!1^у (!^
п^о (2)п+шп!т! V к ) к + з)
^1, 1 — Лх; 1 + Л2 + п; 2;
В следующем интеграле сделаем замену х = у г. Тогда
#2{у, з)
= уу- х)^(к- (х, 1 + Л2; а; 2;

— V" (1)п+ш(1 + Л2)га(а)т (к - А
»^о (2)—!-! ( 4* + -'
X [ (у — х)Х1~1(}1 — х)~Х~Х2~П(1х
J о
V-4 (-Оп+гД! + Л2)п(а)т , ,п Пг
(2)п+тп!-! ^ ^ и + *
X />(1 _ г)А.^ _ |г)"1_Лг_“^
_ А1Л-1-Аа ^ (1)п+ш(1 + Л2)п(о:)т /^ ~ 5У / ^ ~ Л
(2)„+тп!т! Л / и + 5