Дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями

• Автор: Панасенко, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 164 с.

Оглавление

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Дифференциальные включения с внешними

возмущениями

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные

утверждения

§1.1. Дифференциальное включение с измеримым радиусом

внешних возмущений

§ 1.2. Периодические и двухточечные краевые задачи дифференциальных включений с внешними

возмущениями

Глава 2. Устойчивость дифференциальных включений относительно
внешних возмущений
§ 2.1. Принцип плотности и устойчивость дифференциальных
включений относительно внешних возмущений
§ 2.2. Устойчивость периодических и двухточечных краевых
задач относительно внешних возмущений
Глава 3. Дифференциальные включения с внутренними и внешними
возмущениями
§ 3.0. Основные определения и вспомогательные
утверждения
§ 3.1. Возмущенное включение с ограниченным радиусом
внутренних возмущений
§3.2. Периодические и двухточечные краевые задачи дифференциальных включений с внутренними и
внешними возмущениями
§ 3.3. Возмущенное включение с положительной оценкой

снизу радиуса внутренних возмущений
§ 3.4. Периодические и двухточечные краевые задачи
дифференциальных включений с положительной оценкой
снизу радиуса внутренних возмущений
Глава 4. Устойчивость дифференциальных включений относительно
внутренних и внешних возмущений
§ 4.1. Принцип плотности и устойчивость дифференциальных включений относительно внутренних и внешних
возмущений
§ 4.2. Устойчивость дифференциального включения по крайним
точкам многозначного отображения
§ 4.3. Устойчивость периодических и двухточечных краевых задач относительно внутренних и внешних
возмущений
Список литературы

Основные обозначения
Rn - пространство n-мерных вектор-столбцов с евклидовой нормой | • |;
comp[i?n] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Rn;
У замыкание множества V;
coVr - выпуклая оболочка множества У; сбУ = со У ;
exty - замыкание множества всех крайних точек множества У;
extV = ext У;
Рх{•>•) " расстояние между точками в метрическом пространстве Л"; РП'{х,у) = х - у;
Вд[и,г] = {г £ X : рх(и.х) < г} - замкнутый шар пространства Л' с центром в точке и и радиусом г > 0; Вд-^О] = {Ц ;
Vе - замкнутая е-окрестность множества У в банаховом пространстве X ; Vе = U Bv[u.f],6 ^ 0:

рх[х,А] ~ расстояние между точкой х и множеством А в банаховом
пространстве X; рх[х,А] = inf рдфа, Ь) » РнАх, А] = inf |х - у;
уел уел
кх[А,Аъ] - полуотклонение по Хаусдорфу между множествами .4] и Ач в банаховом пространстве X; hA[A,Ai = sup{px[:r,А2] : х £ Ai};
hx[Ai,AA - расстояние по Хаусдорфу между множествами Л] и А'2 в банаховом пространстве X, hxiA^AA — max{/i^[.4j,Л2];
для сокращения записи будем обозначать:
р{а,Ь) = рдп(а, Ь), р[а,А] ~ рд«[а,Д], h+[A,AA = Ц„[.4],Л2], h[Ai,A2} = hRn[AuA2], S[u,r] = Вдп[и,г];
|JУ11 v - норма множества V в нормированном пространстве X , ||У||х = sup{j|n||x : и € У}; ||У||Я. = sup{|u| : и € У}:
Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а. Ь] -» Я” с нормой ||х(-)||с = max{|x(£)| '• * € [а,Ь]};
Рассмотрим дифференциальное включение
я(4) е Ф(*,з(*)), < 6 [а,Ь]. (1.0.9)
Обозначим через Я множество всех квазирешений включения (1.0.9).
С учетом приведенного выше замечания справедливы следующие утверждения, которые связывают множества решений дифференциальных включений (1.0.4), (1.0.7) и множества квазирешений дифференциальных включений (1.0.4) и (1.0.8).
Теорема 1.0.1. (А. 1Уаге«щЫ, [119])Пусть отображение Я : [а, Ъ х В" —» сотр[Д"] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда справедливо равенство
Я = Ясс,
то есть множество квазирешений дифференциального включения (1.0.4) совпадает с множеством решений дифференциального включения (1.0.7). (Аналогичное равенство справедливо для задачи Коши дифференциального включения (1.0-4) с любым начальным условием.)
Замечание 1.0.1. Отметим, что в теореме 1.0.1 пункты 1) и 2) в условиях Каратеодори можно заменить одним условием измеримости при любом а(') е Сп[а,Ь] отображения Я(-, £(•))•
Следствие 1.0.1. Пусть отображение Я: [а, Ь] х Я" —» сотр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда справедливо равенство
Н = Ясо. (1.0.10)
Доказательство. Прежде всего, поскольку отображение Я : [а, 6] х Нп ->■ сотр[Яя] удовлетворяет условиям Каратеодори, то для любого ограниченного множества V С Сп[а, Ъ] найдется такая функция 0у(-) € Ь1[а,Ь], что при почти всех 1 е [а, Ь] и всех ж(-) С V выполняется оценка ||Ф(<,х)|| < Ру(ф)- Далее, так как для любого