О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных

• Автор: Галахов, Евгений Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 209 с.

Оглавление
1 Введение
2 Нелинейные сингулярные стационарные задачи
2.1 Обозначения и модельная задача
2.2 Задачи высокого порядка
2.3 Системы с главной линейной частью
2.4 Внутренняя сингулярность: квазилинейные уравнения
2.5 Внутренняя сингулярность: квазилинейные системы
2.6 Стационарные неравенства с точечными сингулярностями на
границе
2.7 Системы эллиптических неравенств
2.8 Задача с градиентной нелинейностью
2.9 Сингулярные задачи с градиентной нелинейностью
2.10 Стационарные системы с градиентными нелинейностями
3 Нелинейная задача Дирихле в полупространстве
3.1 Сильный принцип сравнения
3.2 Слабый принцип сравнения
3.3 Лемма о предельном переходе
3.4 Монотонность и отсутствие решений в двумерном случае

3.5 Монотонность и отсутствие решений в многомерном случае
3.6 Монотонность для систем
4 Сингулярные нестационарные нелинейные задами
4.1 Обозначения и формулировка задач
4.2 Квазилинейные эволюционные задачи первого порядка по времени
4.3 Квазилинейные эволюционные задачи высокого порядка
4.4 Параболические неравенства с точечными сингулярностями па границе
4.5 Сингулярные нелинейные системы
5 Нелинейные гиперболические задачи
5.'1 Формулировка задачи
5.2 Вспомогательные результаты
5.3 Доказательство теоремы 5.1.
5.4 Доказательство теоремы 5.1.
5.5 Доказательство теоремы 5.1.

Глава
Введение
Настоящая диссертация посвящена проблеме существования и отсутствия положительных решений нелинейных дифференциальных задач различных типов.
Типичную проблему из этого класса можно сформулировать так.
“Пусть А - дифференциальный оператор в частных производных, а / : О х 1Я+ —> Е1+ с П С К"' - заданная функция. Каковы достаточные условия для отсутствия положительных решений задачи
А(ц) > /(х, и) в О, (1.0.1)
где и £ 5, а 5 - соответствующий функциональный класс, зависящий от А, / и Ш”
Проблемы такого рода представляют не только теоретический, но и практический интерес, так как возникают во многих областях физики и техники (прогноз техногенных катастроф, теория горения, эволюции звезд, рассеяния электромагнитного излучения, нелинейной диффузии и т. д.) Обзор некоторых приложений можно найти в [22]—[24], [105], [106] (см. также библиографию там).
Тогда неравенство (2.2.12) не имеет нетривиальных неотрицательных решений.
Доказательство. Подставляя в (2.2.13) пробные функции (ре и используя условия на знаки А^и, А^ір и (.?’ = 0,..., к — 1) на границе, чтобы
показать, что граничные слагаемые неположительны, получаем
-і-*»'*-
Здесь мы сужаем область интегрирования, используя то, что в В В2є в силу (2.2.17) имеем хє(х) = 1, а вследствие (2.2.14)
(-Д) V, = {-А)к(хеик) = (-Д)Ч = о,
! ичх аірє сіх < J и ■ (—А)кірє дх = ! и • (—А)к(рє дх.
Ві Вх
тогда как в Ве выполнено равенство х£(т) = уДт) = 0. Аналогично доказательству теоремы 2.2.1 (см. (2.2.8)), получаем

ичх а<редх < с- J ичх аіредх
Ві В2сВє

/ і У?2 Ж
и отсюда
!и4х а(редх<с■ І х~ч~{—А)к<рєядх.
(2.2.22)
(2.2.23)

В силу леммы 2.2.1 имеем

У иЧх аик(1х< У
ВгВ2е Вх
гДтІ арє дх < сє «-1 —* 0 при є —> 0, (2.2.24)
если а > 2к, что немедленно приводит к и = 0 в В. Если а = 2к, имеем