Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений

• Автор: Ошоров, Батор Батуевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 101 c. : ил

Глава I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Краевая задача в полосе

§ 2. Периодическая краевая задача

§ 3. Краевая задача для ограниченной области

§ 4. Некоторые обобщения

Глава II. МНОГОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

§ 5. Краевая задача для неограниченной области

§ 6. Краевая задача для параллелепипеда

Глава III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОВДАЩИХСЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИЗТЕМ УРАВНЕНИЙ

§ 7. Краевая задача для плоской неограниченной
области
§ 8. Краевая задача для прямоугольника
Литература

В то время как для невырождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений задачи с начальными условиями корректно поставлены независимо от того, имеем мы дело с одним уравнением или с системой уравнений, положение может существенно усложниться, когда речь идет об уравнениях с частными производными.
Хорошо известно, что для одного эллиптического уравнения второго порядка при соответствующих предположениях на его коэффициенты и область, где рассматривается данное уравнение, корректно поставленной является задача Дирихле. С другой стороны, А.В.Бицадзе [4] построен пример системы уравнений второго порядка, эллиптической по Петровскому [4б] на плоскости независимых переменных [22, у], для которой задача Дирихле некорректна в круге (&z~ { У) ^ ^
У*< произвольного, быть может сколь угодно малого радиуса Z . Подобный пример содержится в работе А.В.Бицадзе [5].
Ю.Т.Антохин [I] , Е.Н.Кузьмин [зо] построили примеры эллиптических систем уравнений второго порядка с четырьмя и восемью независимыми переменными, для которых однородная задача Дирихле имеет бесконечное множество линейно независимых решений.

Отличие системы уравнений с частными производными от одного уравнения с точки зрения постановки корректных краевых задач явилось одной из причин более детального изучения именно систем уравнений, в том числе эллиптических. Отметим в этом направлении работы А.В.Бицадзе [4] - [7*] , М.И.Вишика [15] , А.И.Вольперта [17] , Я.Б.Лопатинского [Зб] , Н.Е.Тов-масяна [53] -И и др. В работах Н.Е.Товмасяна указано, что для корректности задачи Дирихле для эллиптических по Петров-' скоцу систем уравнений существенную роль играют младшие члены. Достаточно полная библиография содержится в монографиях
А.В.Бицадзе [б! ,[7]
В большинстве работ, касающихся систем уравнений, эллиптических по Петровскому, изучаются задачи Дирихле, Неймана, общая краевая задача как для систем уравнений, предложенных
А.В.Бицадзе [б] , так и для систем уравнений более общего вида. В настоящей работе предложены некоторые новые корректные краевые задачи для одного класса систем уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными, куда входят эллиптические по Петровскому системы уравнений, в частности, системы Бицадзе с младшими членами, гиперболические системы и другие. Изучено влияние вырождения типа системы на границе области на постановку предложенных задач и рассмотрены многомерные аналоги этих задач. При этом оказалось, что постановка задач в некотором смысле похожа на постановку задачи Коши и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка.
Все исследования проводятся методами функционального анализа в пространствах С. Л .Соболева 1/1/ (£)) [52]
Перейдем к более детальному изложению результатов рабо-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование слабого решения задачи (1.1),(3.1),(3.2) доказываем методом Галеркина так же как в первой части теоремы 2.1. В качестве базиса берем функции ■/ Ын, 1с X т, которые, как было отмечено в теореме 3.1, обра-зуют базис в пространстве (0,271).
При доказательстве совпадения слабого и сильного решения задачи (1.1),(3.1),(3.2) пользуемся совпадением слабого и сильного решения смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка [40] . А именно, рассматриваем задачу (3.1),(3.2) для распавшейся системы гиперболических уравнений
= и/-вихё- £(Гг ёи
которая по существу является смешанной задачей для двух гиперболических уравнений
4 руу * л,, иу + и< — £ у)
и,Сх,0)= КуО) = О , и,Со,0= а,(т,0

^2 = ^гхсс ~~
и2(ос,к)~ и2у(эс)/г)=0) и2(0^)^и/Р^)=0)
причем С1г/(у) > 0, > О , Т.к. матрица (Хф
положительно определена.
Единственность слабого решения следует из его совпадения с сильным решением и единственности этого сильного решения.