Неравенство типа Харнака для решений квазилинейных эллиптических и параболических неравенств второго порядка

• Автор: Давыдова, Лидия Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРНАКА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Формулировка теоремы

§ 2. Вспомогательные утверждения

§ 3. Абстрактная лемма о возрастании

§ 4. Возрастание в узкой области

§ 5. Лемма о трех шарах

§ 6. Лемма о возрастании

§ 7. Доказательство теоремы

§ 8. Примере

ГЛАВА II. ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ХАРНАКА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Формулировка основной теоремы

§ 2. Вспомогательные утверждения
§ 3. Возрастание в узкой области
§ 4. Лемма о трех цилиндрах
§ 5..Лемма о возрастании
§ 6. Доказательство теоремы
ГЛАВА III. СКОРОСТЬ РОСТА РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО НЕРАВЕНСТВА В ГРАНИЧНОЙ ТОЧКЕ
§ I. Предельная скорость роста решения в граничной точке
§ 2. Допустимая скорость роста решения в граничной точке •
ЛИТЕРАТУРА
Список обозначений
11^ - евклидово -мерное пространство (произведение
Н/ экземпляров действительной прямой /£)
02- ^2,... } 32л,) - координаты в /£
- координаты в (ocьt
направлена вверх)
К?1 ={Ы,1): Хё Ж- ищ, ± >о]
1* • ^ ^ ^ ■ длина ге!?*’
- открытый шар радиуса £>0 с центром эс0 б/^
Цосо^о] ъ,-&) - к-яо<ксз0+-Ь-Ь<&'1г}
- открытый цилиндр радиуса Лс> 0 , высоты > О и точкой (Хо,*о)еГИв центре верхнего основания цилиндра
6^ 0 - открытые подмножества ъ ^ , либо в /К
’'Ъ'Ю - граница
( - частная производная функции ££ по
’ ('»*1^*4 ’ -э»,
/I (2)) - И. -мерная мера Лебега множества од №
(%) - (п+1) -мерная мера Лебега множества Э с $ л ^ " объем единичного ^ -мерного шара
- пространство функций дважды непрерывно дифференцируемых ПО X В С} ^ Д5 и непрерывных в
См(0пС(^) - пространство функций дважды непре-
■ п,
кП,
,4 +
рывно дифференцируемых по СС и непрерывно дифференцируемых по ~Ь в С<=1К и непрерывных в О,
(ъ) - пространство измеримых по Лебегу функций ^ на С. /Л** , для которых

венная (параболическая) граница множества 3) (см. [е] )» яа-кая, что ,иг(сс0)'£о) - 'Ц'(х<,/'ко)- > О
» Р(£)
Отсюда V У-СХс^о)= ^Г^{Ьа)=У0^Ж(Хо^)4 ~~(х
По условию леммы имеем (£и~ТГг)(.ъ>,±о)±у(Ъ), (Х'иг--ЬГ±)(хо£о) >у[у0) » И< значит, ,
Из последнего неравенства в силу условий (0.9) следует, что
Егк<*.>.) (ъ*о)>°-
Ъх£
Сделаем линейную замену переменных, приводящую в точке
(Хо*о) матрицу (С1/^(х0 -Ьо)). к каноническому ви-
■ * * > к
ду. В результате получим
где (^0 - образ Х0 при сделанной замене переменных. Противоречие.
Лемма доказана.
2. Теорема А.Д.Александрова - Н.В.Крылова.
Следующая теорема является простым следствием теоремы 3 из [2^ . Для функции ^ обозначим £ = % (£}-£),
Теорема. Пусть открытое множеотво расположено в цилиндре С[Оук ? *с>9 &) , 04 4- . Для положительной
в £0 функции V , принадлежащей С О С (3)) и 0<5ра^.
щающейся в нуль на собственной границе множества 3) , справедлива оценка: