Неравенства Фуксова типа и их приложения

• Автор: Гонцов, Ренат Равилевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

I. Неравенства Фукса для систем линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами

§1. Системы с регулярными особыми точками

1.1. Нормирования системы в регулярной особой точке

1.2. Локальное устройство фундаментальной матрицы. Показатели

1.3. Неравенства Фукса

§2. Системы с иррегулярными особыми точками

2.1. Локальное устройствое формальной фундаментальной матрицы. Формальные показатели

2.2. Неравенства Фукса

§3. Скалярные уравнения с мероморфными коэффициентами

3.1. Соотношения Фукса

3.2. О построении по системе скалярного уравнения

II. Кратности нулей компонент решения системы линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами
§1.0 порядке нуля многочлена на траектории решения системы с
регулярными особыми точками
§2. О порядке нуля компоненты решения системы с неприводимой
монодромией
Список литературы

1. Данная работа посвящена некоторым вопросам аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. В основном нас будет интересовать система
Л ^ (1)
состоящая из р линейных дифференциальных уравнений, с матрицей В(г) ме-роморфных на расширенной комплексной плоскости С (сфере Римана) коэффициентов, голоморфных вне множества особых точек «!,... ,а„.
Скалярные линейные дифференциальные уравнения в комлексной области подробно начали изучаться еще в середине XIX столетия известным немецким математиком Б. Риманом [10], уделившим особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка со множеством особенностей, состоящим из трех точек, и обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б. Римана продолжил его соотечественник Л. Фукс, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для ^ вышеупомянутого класса уравнений. Одно из наиболее известных достижений
Л. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка р, все решения которых имеют не более чем степенной рост в особых точках.
Судя по всему, системы вида (1) стали рассматриваться несколько позднее. Л. Соваж, А. Пуанкаре, Л. Шлезингер, Дж. Биркгоф и другие известные математики рубежа Х1Х-ХХ веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, И. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А. А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл работ ” Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами” [4]. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на проблему, включенную Д. Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900 года в число своих ” Математических проблем” под номером 21.
О том, какие именно вопросы изучаются в данной работе, скажем чуть позже, а перед этим опишем основные понятия теории линейных дифференциаль-

ных уравнений с особенностями.
Пусть разложение в ряд Лорана матрицы В(г) коэффициентов системы (1) в окрестности особой точки а,- ф оо имеет вид
*(*) = 7 "тЬ+ •■• + —+ До + ---, -ВІГІ_,^0 (2)
(г - а,-)Г,+1 г — а,-
(если а,- = оо, то главная часть матрицы В(г) в окрестности бесконечности — многочлен степени г; — 1). Тогда число г і называется рангом Пуанкаре системы в особой точке а,-. Если точка оо не входит в число особенностей ах, системы (1), то матричная дифференциальная форма
ц = В(г)<1г -±( В---1:тг + • • • + <1.г
І=1 (2 - «О ,+ г
голоморфна на всей сфере Римана. Действительно, эта форма голоморфна в
комплексной плоскости по построению, а в точке оо она голоморфна по следующей причине. В координате і = 1/г в окрестности бесконечности (і = 0) форма и> имеет вид
п/1 і т- (в-п-і‘Г,+І , , в-<>
- -вт-е + Е ((ГГ7ДЇТГ + " • + п^т
(И і)
Согласно теореме о сумме вычетов,
X] геэа,. В(г)йг = 0, т. е. ^2 В'_ = 0.
1=1 1
Таким образом, форма ш голоморфна в окрестности точки £ = 0, поскольку там голоморфно слагаемое
в'~1 -<П
І=1 (1 - І=1 (1 -
п п п. £?*" п п. £}і
1=1 І 1=1 1 1=1 1 111
Итак, матричная дифференциальная форма со голоморфна на всей сфере Римана, т. е. ш = 0. Следовательно, если точка оо не является особой для системы (1), то матрица В(г) коэффициентов этой системы может быть записана в виде
•'■’-ІііАрі*-*'1'
г — а.
Рассмотрим точку 20 Є С{ах ап} и некоторый диск Б С С{«х а„} с центром в этой точке. Согласно общей теореме существования и единственности, для всякого вектора уо пространства Ср найдется единственное решение

дярной особой точки а,• s-ранг R,t определяется формулой Ri — max ^-ord„. -^orda<. 62j
Если а,- = оо, то
Ri — max ^-ordoo b + 2, -^ordoo 62 4- 2^
Для регулярной особой точки s-ранг полагается равным единице. Тогда, если все особенности уравнения неприводимы, то
£(# + #) = £*,-2.
*=1 t=l
Иррегулярная особая точка а; называется неприводимой, если ее s-ранг R, не может быть понижен преобразованиями у = Г(г) w специального вида, называемыми а-гом,отопными [7] (в частности, если Ri — целое число, то s-гомотопным является преобразование вида у = exp (A(z — а,)_л<+1) w, А = const).
Можно показать, что соотношения, полученные Д. Бертраном и С. Ю. Сла-вяновым, эквивалентны (в случае уравнения порядка р = 2). Прежде всего заметим, что в конечной иррегулярной особой точке а,-
пгк i = max —-—0Г(^а< = max (—orda. Ь, — iorda. 621 — 1 = Ri — 1.
i=1>2 ] 2 )
Также, если — оо — иррегулярная особая точка, то
j — ordoo Ъ; ( , , 1 , , „ „
гггкг = max = max —ordoo &i, —ord^ 62 + 1 = Ri — 1.
J=1,2 3 v 2
Во всяком случае,
Ri = nr кз + 1.
Далее, выразим s-ранги Ri через величины (1/2)1ггм,«, стоящие в правой части соотношения (25). Рассмотрим q ((z — ai)~'/Si) и 52 ((2 — o,)~1/,Si) — функции из экспоненциальной части
eQW = diag (exp gi ((z - а{)~1/8‘) ,exp?2 ((2 - аД-1/*))
формальной фундаментальной системы решений уравнения в окрестности иррегулярной особой точки а,- ф оо. Допустим, степени многочленов q и q ((z - a;)-1/si) = АДг - ai)~'rrK’< 4--,
qi {(z - a;)_1/si) = A2(z - ai)~,rrK’1