Граничное управление процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом

• Автор: Абдукаримов, Махмадсалим Файзуллоевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещением на одном конце струны при закрепленном втором
1.1 Постановка задачи, необходимые определения
и вспомогательные утверждения
1.2 Построение граничного управления при времени, меньшем или равном критическому
1.3 Построение граничного управления при времени, большем критического
1.4 Построение оптимального граничного управления за произвольный достаточно большой промежуток времени
в классе Иг,' [0, Т]
Глава 2. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещением на одном конце струны при свободном втором
2.1 Постановка задачи, необходимые определения
и вспомогательные утверждения
2.2 Построение граничного управления при времени, меньшем или равном критическому
2.3 Построение граничного управления при времени, большем критического
2.4 Построение оптимального граничного управления за произвольный достаточно большой промежуток времени
в классе И'з [0. Т]
Глава 3. Граничное управление процесса вынужденных колебаний, производимое смещениями на двух концах струны
3.1 Постановка задачи, необходимые определения
и вспомогательные утверждения
3.2 Построение граничного управления при времени, меньшем критического
3.3 Построение граничного управления при времени, равном критическому .
3.4 Построение граничного управления при времени, большем критического
3.5 Построение оптимальных граничных управлений за
произвольный достаточно большой промежуток времени
в классе И^[0,Т]

Глава 4. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смещением на одном конце при закрепленном втором
4.1 Постановка задачи и основные определения
4.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом
4.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому
Глава 5. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смещением на одном конце при свободном втором
5.1 Постановка задачи и основные определения
5.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна - Гордона - Фока
с переменным коэффициентом
5.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому
Глава 6. Граничное управление процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом, производимое смешениями на двух концах
6.1 Постановка задачи и основные определения
6.2 Разрешимость смешанной задачи для уравнения Клейна - Гордона - Фока
с переменным коэффициентом
6.3 Разрешимость задачи граничного управления при времени, меньшем или равном критическому
Заключение
Список литературы

Введение
С задачей граничного управления процессом, описываемым волновым и телеграфным уравнениями, связаны многие практические задачи, в частности, задачи акустики, управление давлением нефти или газа в трубопроводе и.т.п. Ввиду этого изучение таких задач управления является одной из актуальных с точки зрения возможных ее приложений.
Математическая постановка задачи граничного управления формулируется в терминах начально - краевых задач для уравнения, описывающего рассматриваемый процесс.
В 1988 году Ж. Л. Лионе провел изучение граничного управления колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения. В его статье [1] изучалась задача успокоения (т.е. приведение колебательной системы в состаяние с нулевыми данными Коши) с граничными условиями Дирихле. Им же в этой работе с помощью теории гильбертовых пространств была доказана неединственность решения полученной задачи при Т > 2/, где / - длина струны, в терминах обобщенного решения из класса Ь2.
В работе Е. Зуазуа [2] идея Лионса была обобщена на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью, частным случаем которой является задача граничного управления для телеграфного уравнения.
В монографии А. Г. Бутковского [3] задача граничного управления была исследована с помощью метода Фурье и метода моментов. Тем самым, искомое граничное управление было построено в виде ряда Фурье
В работе А. Е. Егорова [4] для конструктивного решения задачи граничного управления был использован метод падающих и отраженных волн.
В статье Ф. П. Васильева [5] была предложена трактовка теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Решению задач граничного управления процессом колебаний функциональными методами посвящены также его совместные работы [6 - 8] с М. М. Потаповым, А. В. Разгулиным и М. А. Куржанским, в которых построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Приближенным методом решения задачи граничного управления для волнового уравнения посвящены также работы М. М. Потапова [9, 10]. Дальнейшие ссылки на связанные с этой тематикой публикациями могут быть найдены в обзорной книге [6].
Отметим, что в упомянутых исследованиях теорема существования искомого граничного управления доказывается лишь для промежутка времени Т, строго большего

— 2^^ ~ ^ ~ VI (^ ~ 1г) ~

! /(21 - £ + т, т)<1т] при Т-Н < К 71 + 2/, (2.18)
При этом искомое граничное управление и{0, 1) = р(Ф) Е И/21[0. Т], переводящее процесс колебаний из начального состояния (2.3) в финальное состояние (2.5), имеет следующий вид:
а) в случае О < Т <
[Ф(*) + А*) - А(т-г) + <рх(т - 4) + I/(т - г, т)<1т}

Ь) в случае / < Т < 2/
2[0(0 + + 01(^3 - т) + 'л(^з - Т) - / /(*3 - г, т)
§[0(0 + <р(0 - 01 (Т - /) + ^(Т - I) + / /(1 - г, т)(/т] при Т-1^1^1,

§[<р(14) ~ 0(£») - Ф{Т - I) + <рх(Т -/.) + / /(1 - т.т)*-] при 1 ^ 1 ^ Т;

с^/ в случае Т =
^ ^ 21 ^
§[0(0 + <р(0 + 01(0 + VI (0 - / / (о - т> т)^] цр« о ^ 1 < г.

л л 21 ^
§^(М — 0(14) — 01(14) + 1^1(14) + ] /(1 — т, т)с/т] при I ^ 1 < 21,
А*(0 =
где 1з = 1 + 21, 14 = 21 — 1.
Доказательство необходимости. Сначала рассмотрим частный случай, когда в задаче II Ах) =0 на сегменте [0. /], а ф(х) = 0 почти всюду на [0,1] В этом случае, если решение и(х.1) из класса ИТ^^г) задачи II существует, то оно является одновременно решением из того же класса смешанной задачи I, у которой р(.г) = 0 на [0,/], а ф(.к) есть нулевой элемент 1/2[0./]. Единственное решение последней задачи в силу утверждения 2.2 представляется в виде (2.7).
Дифференцируя (2.7) по 1, полагая 1 = Т, получим:

01 (ж) = р(Т - х) + А{Т + ж — 20 + ^ I [/(ж + Т - т.т) + /(х — Т + т. т)] дт (2.19)

для почти всех ж Е [0, /] Проинтегрировав (2.19) по я в пределах от / до I и учитывая свойства функции /(хЛ), имеем:

01(1) = -р(Т- 1) + д(Т + 1 - 21) + ^ I /(1+ Т- т.т)дт+ ~ У /(1 - Т + т.т)а!т,

(2.20)