Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа

• Автор: Солдатова, Милена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
I. Неортонормированные фундаментальные системы функций
1. Односторонне обратимые операторы
2. Неортонормированные фундаментальные системы функций
3. Разложения элементов' пространства Ьг(П) по неорто-
нормированным фундаментальным системам функций .
II. Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа
4. Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа
5. Оценки интегралов, содержащих функции Бесселя
6. Точные по порядку оценки сумм квадратов неортонор-
мированных фундаментальных систем функций
III. Равномерная сходимость спектральных разложений по неортонормированным фундаментальным системам функций оператора Лапласа
7. Классы Соболева-Лиувилля
8. Равномерная сходимость разложений по неортонорми-
рованным фундаментальным системам функций оператора Лапласа
9. Асимптотика спектральной функции средних Рисса спектральных разложений
10. Равномерная сходимость средних Рисса спектральных
разложений

Введение
Спектральная теория дифференциальных операторов является одним из важнейших разделов анализа как с точки зрения общей теории, так и приложений к практическим задачам математической физики. Основу ее заложили классические труды Ж.Лиувилля,
Ш.Штурма, Д Гильберта, В.А.Стеклова. Д.Биркгоффа и .Я.Д.Тамаркинэ Значительный вклад в развитие спектральной теории внесли работы С.Бохнера, Э.Ч.Титчмарша, Л.Гординга, С.Феффермана, Б.М.Левитана, В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, И.М.Гельфанда и многих других математиков.
Вопросы спектральной теории обычно рассматриваются для дифференциальных операторов, подчиненных определенным краевым условиям. В 1968 году В.А.Ильиным [1] было введено понятие фундаментальной системы функций оператора Лапласа во внутренней подобласти 0_ К-мерной области О С шС. никак не связанное с какими-либо краевыми условиями.
Пусть задана система решений {ип} , п = 1,2,... уравнения Гельмгольца
Аип + Апип = О, Ап > 0 (0-1)
в области П. Система функций {м„} называется фундаментальной в Гг(П), если для любого п
(0.2)
для некоторого ортонормированного базиса {й„} в 1/2(П). В рамках этого понятия В. А.Ильиным была построена универсальная теория, позволившая при изучении спектральных разложений отказаться от задания краевых условий конкретного вида. В частности, разработанная им техника охватывает все самосопряженные неотрицательные расширения оператора Лапласа с чисто точечным спектром на
числовой прямой. Итог этой теории был подведен в монографии В.А.Ильина [2].
Развитая В.А.Ильиным теория опирается, в сущности, на два следующих основных свойства фундаментальной системы функций. Первое из них - формула среднего значения решений (0.1). Если шар В(х,г) радиуса г с центром в точке х содержится внутри П, то справедливо равенство
I ип(х + гш)<1ш = (0.3)
где '«/„(ж) означает функцию Бесселя первого рода порядка и, а (ко
есть элемент площади единичной сферы в К.Л'.
Второе свойство фундаментальной системы функций - вытекающее из определения (0.2) равенство Парсеваля
= (0.4)

где (, ) и | ■ | означают, соответственно, скалярное произведение и норму в Ь2(О).
Пользуясь только этими двумя свойствами, В.А.Ильин устанавливает точные по порядку оценки как сверху, так и снизу некоторых определенных сумм квадратов функций ип(х) на каждом компакте К СП. Прежде всего, для любого ц > 1 функция
й(г,Г)= У «!„(х)=0(1/ (0.5)

равномерно по х Е и непрерывна в области П. Здесь и ниже под Пя понимается множество всех точек х Е О, расстояние которых до границы дО больше Я. Отсюда, в частности, следует, что при а > N/
£ АГ*4(г) е С(П).

Более существенную роль играет установленная В.А.Ильиным равномерная по х Е Он оценка

J 11в(х,?) = 0(1)^- (0.6)

Доказательство леммы 5.2 завершено.
Пусть функция х(г) € С°°[0,+оо) постоянна в окрестностях нуля и бесконечности, то есть х'(г) Е Со°(0,+оо). Значения у(г) в этих окрестностях будем записывать как у(0) и у(оо).
Рассмотрим функцию /х(£,£о) двух переменных £ > 0 До > 0, определяемую по формуле
ШМо) = ’/Йо / КЦ')? (НвЦг, У > О, ;/0 > О (5.7)
для всех вещественных з , при которых интеграл в правой части (5.7) имеет смысл.
Интеграл Тх мы будем интенсивно использовать, поэтому условия на б‘ выпишем явно. В зависимости от выбора х эти условия имеют следующий вид:
причем в последнем случае интеграл понимаем как несобственный. Условия (5.8) следуют из оценок (5.3) - (5.5), существование несобственного интеграла будет видно из доказательства леммы 5.4. Всюду дальше при использовании функции 1 условия (5.8) будем считать выполненными.
Из определения (5.7) интеграла /у и оценки (5.5) следует, что
равномерно по t. Ц при условии, что интеграл справа конечен.
Аналогично, из определения /у и оценок (5.3), (5.5) получаем, что если у(г) = 0 при г > Я, то при 0 < t < Т

5 ЛЮООе,
6’ < V + 1^0 + 1,
з > О,
О ^ 5 <С 1У -}- /Д) -р 1., и - щ = 1,
если ,х(°°) = 0- х(0) = О
если х(°о) = 0, х(0) ф О
если х(°о) Ф 0, х(Щ = О
если х(°°) Ф^ 0; (Ч: ф
если х(°°) Ф О, я = 0,
(5.8)

(5.9)

!Ц|Мо)| < АфНТ)В,,Х^2 I х(г)г^~1/2с1г (5.10)