Нелокальный анализ гладких вариационных задач с параметрами

• Автор: Костина, Татьяна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Конечномерная редукция вариационных задач (в рамках операторных фредгольмовых уравнений)

1.1 Общие сведения о фредгольмовых уравнениях

1.2 Выпуклые функционалы и приближения Галеркина-Ритца

1.3 Задача бифуркационного анализа решений фредгольмовых уравнений с параметрами

1.4 Общая схема конечномерных редукций вариационных уравнений

1.5 Схема Ляпунова - Шмидта (локальная)

1.6 Приближенное вычисление ключевой функции

1.7 Редукция Ляпунова-Шмидта как обобщенная ритцевская аппроксимация

1.8 Нелокальная вариационная версия метода Ляпунова - Шмидта

1.9 Редукция Морса-Ботта
1.10 Топологическое сравнение редуцирующих схем
1.11 Образы особых точек гладких отображений и огибающие кривые
1.12 С—инвариантные функционалы
1.12.1 Банаховы С—многообразия
1.12.2 Критические орбиты
1.12.3 Ослабление условия гладкости действия группы Ли

1.13 Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и параметрические функционалы с обобщенной круговой симметрией
1.14 Переход к усеченной по симметрии ключевой функции
2 Алгоритмизация нелокального анализа функционала действия
2.1 Условие (УФ)
2.2 Функционал в окрестности вырожденной критической точки
2.3 Трансверсальность особенностям
2.4 Построение приближенной ключевой функции методом Га-
лёркина
2.5 Метод Галёркина для функционалов с обобщенной круговой симметрией
2.6 Уравнение без параметра
2.7 Уравнение с параметром
2.8 Метод Галеркина в реализации схемы Ляпунова-Шмидта
2.9 Схема вычислительного алгоритма
3 Нелокальный анализ модельных краевых задач
3.1 Натуральные механические системы
3.2 Алгоритм полиномиального приближения к ключевой функции для маятника. Теоретическое описание
3.2.1 Исходные данные
3.2.2 Усечение исходных данных по круговой симметрии
3.2.3 Аппроксимация Лагранжа-Эрмита для косинуса и
синуса
3.2.4 Операторные уравнения
3.2.5 Итерации
3.3 Компьютерный алгоритм полиномиального приближения
к ключевой функции для маятника

3.3.1 Аппроксимация cos, sin
3.3.2 Галеркинские коэффициенты для итераций
3.3.3 Пример полиномиальной аппроксимации ключевой
функции
3.3.4 Полученные графические изображения
3.4 Конечномерная редукция на примере уравнения Белецкого
3.4.1 Описание алгоритма (теоретическая форма)
3.4.2 Описание алгоритма (программная форма)
3.4.3 Графические изображения
3.5 Уравнение Кармана
3.5.1 Функционал энергии круглой упругой пластины и
его усечения
3.5.2 Построение приближений к ключевой функции от
двух переменных
3.6 Пример итерационного алгоритма полиномиального приближения к ключевой функции для уравнения К'армана
3.6.1 Исходные данные
3.6.2 Операторное уравнение
3.6.3 Итерации
3.6.4 Функции Бесселя
Литература

Замечание. Из коэрцитивности функционала V следует, что редукции являются эллиптическими, поэтому
Wt(0= inf V(x). xCPt ЧО
Если ключевые функции Wo и W функционала V получены в линейных редуцирующих схемах (редуцирующие отображения po,Pi линейны), и если Ро и pi имеют общее линейное редуцирующее расширение, то Wq и Wi стабильно гладко эквивалентны [54] (функции называются стабильно эквивалентными, если они становятся эквивалентными после добавления невырожденных квадратичных форм от дополнительных переменных [2]). Может оказаться, однако, что эти функции не будут эквивалентными ни на каких связных множествах, содержащих все их критические точки. Глобальную эквивалентность можно установить при дополнительном требовании гомотопности схем на основе теоремы 4.
В этой связи представляет интерес следующее
Утверждение 5 Пусть на гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (, ) задан гладкий коэрцитивный функционал в виде суммы
V(x) — (Ах, х) + Q(x), (1-24)
в которой первое слагаемое — квадратичная форма с ограниченным оператором А, а второе — нестрого выпуклый функционал:
"(x)(h, h) > 0 Vx, h £ Н. Если e
(Av,v) > cv|2 Vv 6 Lin (еi, ... , е„)х, с > 0, (1.25)
то отображение р : H —> R”, р(х) = (р1(х)
Если р = (р1
(Av,v) > cv |2 Vx € Lin (ё i,