Нелокальные краевые задачи для уравнений математической физики с меняющимся направлением времени

• Автор: Львов, Антон Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 90 с.

1 Нелокальные краевые задачи для уравнений I и III порядка
с меняющимся направлением времени
1.1 Краевые задачи для уравнения параболического типа с меняющимся направлением времени
1.1.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом
1.1.2 Краевая задача с переменным коэффициентом
1.2 Краевые задачи для уравнения III порядка с меняющимся направлением времени
1.2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом
1.2.2 Краевая задача с переменным коэффициентом
2 Нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени
2.1 Краевая задача с постоянным коэффициентом
2.1.1 Постановка краевой задачи и вывод априорной оценки
2.1.2 Существование слабого решения
2.1.3 Существование обобщенного решения
2.2 Краевые задачи с переменным коэффициентом
2.2.1 Краевая задача
2.2.2 Краевая задача
3 Разрешимость нелокальных краевых задач для нелинейных уравнений с меняющимся направлением времени
3.1 Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка
3.2 Разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка
Литература

Актуальность темы. Теория нелокальных краевых задач важна сама по себе как раздел общей теории краевых задач для уравнений с частными производными и как раздел математики, имеющий многочисленные приложения в механике, физике, биологии и других естественно-научных дисциплинах. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых вместо задания значений решения или его производных на фиксированной части границы задается связь этих значений со значениями тех же функций на иных внутренних или граничных многообразиях.
Предметом наших исследований являются нелокальные краевые задачи для уравнения
2s+l
Lu= ki(x, t)Du + Ми — f(x, t), (0.0.1)
t=i
где Mu = (—l)m D%{aaß(x)D%u) + ao(x)u - сильно эллиптический
a,ß=m
оператор, в цилиндрической области Q = f)x(0, Т), 5у = S х (0, Т), QcMn - ограниченная область с гладкой границей S.
Уравнение (1) является уравнением математической физики неклассического типа нечетного порядка. На знак функции перед старшей производной по времени не сделано никаких предположений, поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико - параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени [95] и другие уравнения.
Начало исследований краевых задач для уравнений такого типа было положено в работах Жеврея [116, 117], опубликованных в 1913-1914 годах. В 20-е - 30-е годы XX века в работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа на плоскости. В работах М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, И.Н. Векуа, С. А. Христиановича, С.А. Чаплыгина, Л.Г. Гудер-лея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомент-

ной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики.
Новым этапом в развитии теории краевых задач для неклассических уравнений явились работы Г. Фикеры [99], O.A. Олейник [75], С.А. Терсенова [93, 95]. В их работах были предложены новые подходы и методы построения единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений. В.Н. Враговым [12, 13, 14] и рядом авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа, в частности, для гиперболопараболических уравнений. Интерес к уравнениям с меняющимся направлением времени высок. Это вызвано, в частности, их приложениями в гидродинамике - изучением движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости.
Краевые задачи для линейных неклассических уравнений математической физики рассматривались в работах O.A. Олейник , Г. Фикеры, С.А. Терсенова [92, 93, 94, 95], А.М. Нахушева [73], И.Е. Егорова [25, 26, 27, 121, 122], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [30], В.В. Катрахова [37, 38], Н.В. Кислова[40, 41, 42], С.Г. Пяткова [83, 84, 85, 86, 87, 133], С.В. Попова [80, 81, 82, 123, 124, 125], И.М. Петруш-ко, Е.В. Черных [77], В.Е. Федорова [97], Ф.М. Федорова [98], Х.Х. Ахмедова [3], В.В. Катышева [34], А.И. Кожанова [45, 47], С.Н. Глазатова [17], H.JI. Абашеевой [1], A.B. Чуешева [100, 101], М.С. Боуенди, Г. Гривара [108], К.Д. Пагани [130, 131], К.Д. Пагани, Г. Таленти [132], О. Арены [103] и других авторов.
В работе И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [29], в частности, рассматривается краевая задача для уравнения высокого порядка (1). Краевые условия задаются при t = 0 и f = 71 в зависимости от знака функции k2S+(x,t). При выполнении определенных условий на старшие коэффициенты при производных по t и функцию ао(х) с помощью функциональных методов, метода "£-регуляризации"и метода Галеркина были доказаны теоремы о существовании и единственности решения в Wlm'2s+l(Q).
Исследованию нелинейных уравнений посвящены работы H.A. Ларькина,
В.А. Новикова, H.H. Яненко [58], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, H.H. Яненко [32], Т.И. Зеленяка [33], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [5], В.Н. Монахова [69, 70], В.Н. Монахова, С.В. Попова [71, 72], А.Г. Подгаева [78, 79], С.Г. Пяткова, А.Г. Подгаева [88], С.Г. Пяткова [86], М.М. Лаврентьева(мл.) [51, 52, 53, 54], В.Н. Гребенева [21], С.Н. Глазатова [18], Н.Л. Абашеевой [2], A.B. Чуешева [102].
В частности, A.B. Чуешев в [102] исследовал разрешимость локальной

для любого V Е Сь*. Разрешимость функционального уравнения
(и,Ь*ь) = (/, V)
для любых V из Сх» доказывается на основании априорной оценки (2.2.9) по стандартной схеме [б]. □
Определение 2.2.1.2. Функция и(х,£) ЕУУ’8*1^) называется обобщенным решением краевой задачи (2.1.1), (2.2.1) - (2.2.4), если выполнено тождество
а(и, ь) = 1(и, и) + [Ми, и) = (/,«), /6 УУгт'-8((Э) (2.2.10)
для любой функции и{х,Т) из ¥2,!!+1(<Э).
Теорема 2.2.1.2. Пусть выполнены условия леммы 2.2.1.1. Тогда для любой функции / Е И/2_т’_*((3) существует обобщенное решение и(х,Т) из
Иб'8((д) краевой задачи (2.1.1), (2.2.1) - (2.2.4).
Доказательство. При фиксированном и из У ,8+1 (<3) интеграл а[и, и) опре-

деляет линейный ограниченный функционал над и Е\г который в
силу теоремы Рисса записывается в виде
а(и,и) = (и,Аи)щз, Аь Е]У^’3(Я).
Оператор А, определяемый этим тождеством, удовлетворяет условиям леммы Вишика [9], [10].
Действительно, является областью определения оператора А

и вложено В ГГ'Г’ДФ) плотным образом. С другой стороны, интегрируя по частям получим
(у,Аи)т>3 = а(и,и)
Др I [к2м(Х,т) - 1:^цх)т^.т))чх+
+ (-1рI{^А°Аа?(х) - кг^ТЖОЩх,0))2&+
Я0+
+1 (-1)4*2, - А±11к2з+1,](Щу)Чд+

3 3
+(Ми, и) +
(=1 j