Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода

• Автор: Егорова, Ирина Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 106 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Задачи с нелокальным условием сопряжения для уравнения

смешанного типа второго рода

§ 1.1. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения

с данным на характеристике

§ 1.2. Краевая задача с нелокальным условием сопряжения

с данным на нехарактеристической линии

Глава 2. Задачи с нелокальными граничными условиями для уравнения

смешанного типа второго рода

§ 2.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа,

удовлетворяющих условиям периодичности
§ 2.2. Задача с условиями периодичности
при 0 < т <
§ 2.3. Нелокальные задачи с неполными граничными данными
при 1 < т <
§ 2.4. Нелокальные задачи с весовым условием сопряжения
при 1 < т <
Литература

Введение
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а также уравнений смешанного типа, что объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и наличием их практических приложений в газовой динамике трансзвуковых течений [70], [75], [15], [34], магнитной гидродинамике [24], в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей [3], в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.
Основы теории краевых задач для уравнений смешанного типа были изложены в известных работах Ф. Трикоми [67], С. Геллерстедта [77], [78], К. И. Бабенко [1], [2], Ф.И. Франкля [70], [71], М.А. Лаврентьева [32], А. В. Бицадзе [8], [9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамике. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики [28], [31].
A.B. Бицадзе [32], [6] впервые сформулировал принцип экстремума для уравнения Лаврентьева
иХх + (sgn у)иуу — 0. (0.1)
Позднее он был доказан для других уравнений смешанного типа [2], [76], [43], [44], [14], [60], [62], [50].
Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появились новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе [8], A.A. Самарского [59], М.М. Смирнова [62], Ю.М. Крикунова
[30], В.Ф. Волкодавова [14], С.П. Пулькина [43] - [45], К.Б. Сабитова [49] - [51], А.И. Кожанова [25], В.И. Жегалова [18], [19], А.М. Нахушева [39], [40], Е.И. Моисеева [35], P.C. Хайруллина [72] - [74], А.М. Ежова [17], М.Е. Лернера [33], O.A. Репина [33], [47], А.П. Солдатова [63], [64], Л.С. Пулькиной [46], J.R. Cannon [79], D. Dunninger [80], [81] и других математиков.
Остановимся на работах, которые послужили основой исследований настоящей диссертации, посвященной обоснованию корректной постановки

нелокальных задач для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением.
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода или с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.
В работе [22] И.Л. Кароль представил одно из первых исследований для уравнения смешанного типа второго рода
ихх +{вдпу)утиуу = 0, т > 0, (0.2)
в области С, ограниченной простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и А( 1,0), и характеристиками ОС и АС уравнения (0.2), расположенными в полуплоскости у < 0. Он доказал существование и единственность решения задачи Трикоми (задача Т) при 0 < т < 1 в случае, когда граница Г эллиптической части смешанной области О совпадает с так называемой "нормальной"кривой Го:
Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе [53] К.Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Т для уравнения (0.2) при любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < m < 1. В работах [54, 55] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.2) при m > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx + (sgny)uyy — 0 при всех ш > 0.
Ф.И. Франкль свел прямую задачу теории сопла Лаваля к новой задаче для уравнения (0.2) с показателем пг = 1/2, где на линии перехода вместо классического условия непрерывности -(аО+О) = иу(ж, 0—0), 0 < х < 1, ввел требование разрывности иу{х, 0 + 0) = —иу(х, 0 — 0), 0 < х < 1.
И.Л. Кароль исследовал также уравнение смешанного типа второго рода
Lu = ихх + уиуу + аиу = 0, а = const, (0.3)
в области аналогичной G. При 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии изменения типа вместо

Доказательство леммы 1.4 проводится аналогично доказательству леммы 1.3.
Лемма 1.5. Функция К(х, я) непрерывна в квадрате [0, 1] X [0, 1], кроме линий х — 0, 5 = 0 и э = х, и справедлива оценка
С [x2q 1 4- (х + s — 2xs)2q х] + C2S 71 при г < 2q,
|К(х, s) | < <
С3 (х2*-1 + 5~Г1)

+ 64(0; + s — 2 xs)2q
при г = 2 q, Съ (жГ1_1 + s~2q) s — x2q~ri + Сб(х + s — 2xs)2q~1
при г > 2q.
Справедливость оценки ядра К(х, s) следует из оценок (1.44) и (1.49).
Лемма 1.6. Если ф(у) £ С7[—1, 0] П С'1(—1, 0), ф'(у) G L[—1, 0], V>(0) = 0, (р(х) = [ж(1 — х) ](2+уН1+"9 Тр(х), Тр(х) Е С*[0, 1], 7 > 0, то функция F(x) Е С[0, 1] П С1 (0, 1), F'(x) Е Li[0, 1].
Доказательство. Если функция ср(х) имеет указанное представление, то в силу результатов [60, с. 276] следует, что
функция Ф(ж) Е С1 [0, 1] П С°°(0, 1) при 7 > 0. Если функция ф(у)
удовлетворяет условиям леммы, то из представления (1.25) следует, что Ф(ж) Е С[0, 1] П С'1(0, 1). Тогда из равенства (1.30) вытекает, что
Fx(x) Е С[0, 1] П С1 (0, 1), F[(x) Е Д[0, 1].
Итак, в силу лемм 1.5 и 1.6 уравнение (1.41) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода со слабой особенностью [52, с. 481]. В силу теоремы 1.2 о единственности решения задачи (1.2) - (1.6) и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (1.41) однозначно разрешимо в классе функций С[0, 1]. Аналогично работе [26] можно показать, что т'(х) Е С(0,1) и т'{х) Е Ti[0, 1].
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1.3. Если Г = Го, функции ф(у) и <р(х) удовлетворяют условиям леммы 1.6, то существует единственное решение задачи (1.2) - (1.6), которое в областях D_ и D+ определяется соответственно формулами (1.15) и (1.26).