Аттракторы уравнения Гинзбурга-Ландау и его конечномерного аналога

• Автор: Куликов, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 115 с. : ил.

ГЛАВА I. Исследование билокальпой модели уравнения
Гинзбурга - Ландау (Курамото - Цузуки)
§1Л. Описание рассматриваемого класса
дифференциальных уравнений
§1.2. Простейшие автомодельные циклы
§1.3. Противофазный цикл
§1.4. Асимметричные циклы
§1.5. Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов
§1.0. Два особых случая
§1.7. Периодические решения двух слабосвязанных осцилляторов
ГЛАВА II. Бифуркация автоволн обобщенного кубического
уравнения Шредингсра в цилиндрической области
§2.1. Постановка задачи. Бегущие волны
§2.2. Нормальная форма в базисном случае
§2.3. Анализ нормальной формы и основные
результаты в базисном случае
§2.4. Бифуркации бегущих волн в ,,несимметричпом"случае
Литература
Приложение 1. Вычисление ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от противофазного цикла
Приложение 2. Вычисление ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от асимметричных циклов
Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач, возникающих при рассмотрении широко известного уравнения Гинзбурга -Ландау, которое часто называют иначе: уравнением Курамото - Цузу-ки. Данное нелинейное уравнение, впервые было получено в работах В.Л. Гинзбурга и Л.Д. Ландау, а также Л.А. Абрикосова (см., например, [39 -- 41]) как одна из математических моделей в теории сверхпроводимости. Это уравнение возникло при моделировании различных физических процессов, возникающих при изучении плазмы, турбулентных режимов в гидродинамике, нелинейной оптике и т.д. (см.,например, [2,21-23,27,29]).
Второй вариант названия (уравнение Курамото - Цузуки) появился после работ японских физиков И. Курамото, Т. Цузуки [42 - 44], которые па физическом уровне строгости получили сто при рассмотрении систем химической кинетики с учетом диффузии. Строгий математический вывод этого уравнения возможен при рассмотрении систем уравнений с частными производными типа реакция - диффузия, но лишь в том случае, когда коэффициенты диффузии пропорциональны малому параметру (см.,например, [1], а также библиографию, которая приведена в данной монографии).
Исследованию динамики решений различных краевых задач для уравнения Гинзбурга - Ландау посвящено достаточно большое число работ. Их обзор и библиографию можно найти в монографиях [1,2]. Следует отметить, что во введении и далее используется сокращенное название этого уравнения. Во многих источниках уравнение Гинзбурга - Ландау называют "временно зависимое уравнение Гинзбурга - Ландау"(quintic time -dependent Ginzburg - Landau equation). Далее везде будем пользоваться укороченным вариантом названия этого уравнения, тем более, что оно стало уже общепринятым.
В физических приложениях системы уравнений и, следовательно, уравнение Гинзбурга - Ландау изучаются очень часто сведением задачи к конечномерной с помощью разностных аппроксимаций или галеркинских приближений (см.,например, работы A.B. Гапонова - Грехова, М.И. Рабиновича [45,46] и Т.С. Ахромсевой, Г.Г. Малинецкого [47 - 49]), а также И.А. Магницкого и С.В. Сидорова [59]. Естественно, что выводы после анализа таких конечномерных систем имеют феноменологический характер, тем более, как правило, рассматриваются малоразмерные приближения. Но традиции, физические соображения позволяют считать такой подход достаточно убедительным или, по крайней мере, достаточно приемли мым.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию би-локальной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, если это уравнение рассматривается вместе с краевыми условиями непроницаемости (однородными условиями Неймана) или периодическими краевыми условиями. Это означает, что каждая из краевых задач
ди . .д2и . I 12 /_ ч
— = (а! + га2 + 11 + (®з + га.1)ии (0.1)
ди, ди,
дх = Эх^'= ( '

/ ч / ,ч ди, ди. .
и{Ь, 0) = и(Ь, I), д^х=о = о^х=1 (°-3)
заменяется на систему двух обыкновенных дифференциальных уравне-

£ = (Iехр(-т)£>£ + £ - (1 + гс)£|£| . (0.4)
7Г 7Г
Здесь 01,02, аз, а4, с 6 Е, ах > 0, аз < О, (I > 0, а € ; —], и — и(Ь,х)
комплекснозпачная функция двух переменных £ и х € [0; /] (/ > 0). Наконец,
«=«г)=(1Ш’0=("1 -!)•
а Ф(^))?2(0 ~ комплекснозначные функции. При этом £](£) = гф^ац), £г(£) = и(£, х2), а ад, £2 € (0;/). (Более детально см. §1.1.)
Для системы (0.4) в главе I рассматривается круг вопросов связанных с существованием и исследованием устойчивости простейших аттракторов : циклов и двумерных торов. Их существование выявлено аналитическими методами, а при исследовании их характеристик и свойств иногда применялся компьютерный анализ, но он сведен до возможного минимума. В данной диссертационной работе не рассматриваются вопросы связанные с компьютерным анализом системы (0.4) для определения таких характеристик как ляпуновская и фрактальная размерность аттракторов этой системы. Этому вопросу посвящено достаточно большое число исследований (см., например, [7,11,50 - 52,59] и другие). Особо следует отметить работы, посвященные тому же кругу вопросов, но, где конечномерный аналог уравнения Гинзбурга - Ландау выписывался с помощью метода Галеркина [47 - 49,52,59].
Перейдем к более детальному обзору содержания главы I. В §1.1 дано подробное описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений, а также постановка задачи, которая рассматривается в этой главе.

Положим (1 = (1з~е, где |е| << 1. При таком способе выбора (115 задаче об устойчивости выбранного состояния равновесия Щ реализуется случай близкий к критическому пары чисто мнимых собственных значений. Следовательно, можно рассмотреть задачу о бифуркации автоколебаний в системе трех дифференциальных уравнений (1.78), ответвляющихся от данного состояния равновесия. Для исследования бифуркационной задачи возникает стандартная ситуация, когда возможно применение бифуркационной теоремы Андронова - Хопфа. Хорошо известно, что в ситуации общего положения ответ па этот вопрос следует из анализа нормальной формы (см. [1,14 - 15]).
г'(в) = е(а3 + г/33 )г(в) + (/31 + г732)ф) |ф) |2, (1.82)
где е, ад, Дз, /31, /32 £ К. При этом особую роль приобретает сочетание знаков двух ПОСТОЯННЫХ «3 и 1ц - лянуновской постоянной. При предложенном выборе введения параметра £ постоянная ад > 0. Так что центральную роль играет задача определения знака лянуновской величины 1ц. В свою очередь для решения этой задачи достаточно построить иормаль-ЕЕуЮ форму (1.82) при £ = 0. Это МОЖНО сделать ПрИМСЕЕЯЯ ставшими уже общеприЕштыми алгоритмы ПОСТрОСЕ1ИЯ ЕЕОрмаЛЬЕЕЫХ ([)0рм. В работе ири-мсчеялся немного ада1ЕтироваЕ1Е1ый, еео в общем стандартЕЮ ПрИМСЕЕЯСМЫЙ алгорЕЕтм, изложеЕЕие которого можею найти на с. 346 - 349 из монографии [14] (см. также работы [17 - 20]). Понятно, что ввиду громоздкое, явЕЕое ВЫражеЕЕИС ДЛЯ /31 выписать ТРУДЕЕО и ПраКТЕЕЧССКИ беЗЕЕадеЖЕЕО. Поэтому ВеЛИЧИЕЕа /31 вычислялась рекуррСЕЕТЕЕО. ПолучеЕЕЕЕЫе таким образом формулы были проаЕЕализироваиы численно. На рис. 1.5 преевсдсеео разбисЕЕие

еелоскости параметров (а, с), а € (0; —), с > 0 па области сохраЕЕСЕ1Ия ЗЕЕа-

ка ляЕЕуЕЕОвской величины 1ц. Область А3 ЕЕа этом рисуЕЕке образуЕот пары (а, с), для которых ЕЕевозможна колебательная ЕЕОтеря устойчеевости. При (а; с) 6 Дз справедливо ЕЕеравсчЕСТво /31 < 0, а в области 63 наоборот 1ц > 0. ЧислеЕЕЕЕЫЙ анализ знака лянуновской величш1Ы проводился на компьютере с помощью программы ЕЕа языке Раяса! в среде Ве1рП1 5.0. Эту про!'рамму можно ппйтее в приложении 2 к диссертации.