Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случае

• Автор: Балакина, Екатерина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 106 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§1.1. Обозначения
§1.2. Классическая краевая задача
§1.2.1 Постановка задачи
§1.2.2 Вспомогательные результаты
§1.2.3 Основной результат
§1.3. Неклассическая краевая задача
§1.3.1 Постановка задачи
§1.3.2 Вспомогательные результаты
§1.3.3 Основной результат
Глава 2. ЗАДАЧИ РЕНТГЕНОВСКОЙ ТОМОГРАФИИ
§2.1. Индикатор неоднородности неизвестной среды в полихроматическом случае при объемном зондировании
§2.1.1 Постановка задачи
§2.1.2 Вспомогательные результаты
§2.1.3 Основные утверждения
§2.1.4 Теорема единственности
§2.2. Индикатор неоднородности неизвестной среды в полихроматическом случае при послойном зондировании
§2.2.1 Постановка задачи
§2.2.2 Вспомогательные результаты
§2.2.3 Основные утверждения
§2.2.4 Теорема единственности
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Под проблемой томографии мы понимаем задачу определения внутреннего строения среды по результатам прохождения через неё радиационного излучения. Излучение рассматривается как поток фотонов различных энергий.
В качестве математической модели процесса переноса взято линейное стационарное интегро-дифференциальное уравнение переноса
где г — пространственная переменная, г 6 G, G — выпуклая ограниченная область в трёхмерном евклидовом пространстве Е3; ш € П = {w 6 Е3 : |w| = 1}; Е — числовая переменная, Е el = [Emin, Етах].
Здесь /(г, ш, Е) интерпретируется как плотность потока частиц в точке г с энергией Е, летящих в направлении ш. Функции ц, к и J характеризуют среду G, при этом /i(r, Е) означает коэффициент полного взаимодействия (эта величина обратна свободному пробегу и складывается из коэффициента рассеяния и коэффициента поглощения), к(г,ш ш',Е,Е') означает индикатрису рассеяния (величину, пропорциональную числу частиц, которые в точке г меняют направление о/ и энергию Е' на и и Е соответственно), J(r, w, Е) означает плотность внутренних источников.
Работа состоит из двух основных частей. Первая часть посвящена двум прямым задачам для уравнения переноса. Они заключаются в определении функции / из уравнения (1) при всех известных коэффициентах д, к, J и при задании дополнительных данных: плотности либо входящего в среду либо выходящего потока. Библиография этой и близких задач обширна [1-22]. Особенно отметим работу B.C. Владимирова [2], которая является фундаментальной в этом направлении, и книгу Т.А. Гермогеновой [3], наиболее близкую к нам по характеру ограничений и посвящённую, в основном, качественной теории решений краевых задач. Исследования в диссертации тесно связаны с книгой Д.С. Аниконова [1], в которой поставлена и решена задача о нахождении функции / при заданном падающем на среду потоке. В настоящей работе решение ищется в другом классе функций, а также рассмотрена задача о нахождении функции / при заданном выходящем из среды потоке.
Вторая часть работы заключается в исследовании двух обратных задач.
Часто постановки задач томографии выводятся непосредственно из соответствующих физических предположений. Как правило, аналогичного результата можно добиться, рассматривая определённые обратные задачи для уравнения переноса излучения. Впервые подобная постановка задачи была рассмотрена в 1964 г. в работах Г.И. Марчука [23, 24], посвящённых постановке и
и Vr/(r, и, Е)+ц(г, E)f(r, и, Е)

n Si

обсуждению одной обратной задаче в плоскопараллельном случае. В 1968 г. М.В. Масленников [13] рассмотрел стационарное односкоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. В книгах Р. Беллана, Р. Калабы [25] и Р. Латтеса, Ж.-Л. Лионса [26] обратные задачи для уравнения переноса рассматривались в основном с точки зрения получения численных результатов. Затем К. Кейзом было предложено решение обратной задачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени (нестационарный случай), постановки и обсуждения обратных задач имеются в работе А.И. Прилепко [27].
Вообще, томография была и остаётся областью интенсивных исследований, которой посвящены многочисленные публикации во многих странах мира. Отметим лишь некоторые из них, наиболее близкие к теме диссертации [28-49]. Задача рентгеновской томографии о нахождении неизвестных границ при известном выходящем потоке впервые была рассмотрена Д.С. Аникоповым [1,28]. В настоящей работе предметом поиска также являются поверхности либо кривые (в зависимости от способа зондрования) разрывов коэффициентов уравнения, что является существенной характеристикой строения неизвестной среды. Однако отличие заключается в том, что в диссертации уравнение переноса не содержит интеграла столкновения, однако сделано продвижение в направлении постановки более реальной задачи томографии, а именно, вместо задания выходящего излучения для каждого уровня энергии задаётся интеграл по энергии и, кроме того, предполагается поэтапное зондирование среды, что принято на практике.
Остановимся более подробно на содержании диссертации. Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе рассматриваются две прямые задачи для уравнения переноса. В параграфе 1.1 вводятся основные обозначения и предположения.
Рассматривается стационарное линейное дифференциальное уравнение (1). Среда С — неоднородна. Для характеристики этой неоднородности введём в рассмотрение подмножество бо области С, которое является объединением конечного числа областей:
Область (7* можно интерпретировать как часть неоднородной среды б, заполненную г-ым веществом.
Предполагается, что Со является обобщённо выпуклым множеством.
Величины, характеризующие среду, могут скачкообразно меняться по энергетической переменной Е € I внутри любой области Поэтому мы также будем рассматривать некоторое подмножество 10 (10 С I, Iо — I) множества I:

Со = [_] Сф р < °о, С; П б, = 0 приг j во = в.

Доказательство. Необходимость. Функция /(х) является решением задачи (1.3.1), (1.3.2), тогда /(х) € Б(Хо), и для всех 4 е [0, с1(г,ш)} таких, что г+ 4сд € (?о, для всех и в Пи Е е 10 верно 1/(г + 1ы,ш, Е) = Р(г + 4сд, и, Е). Обе части этого равенства умножим на ехр (т(г, и, Е, 4)) и проинтегрируем по 4 £ [0, й(г, и)) :
d{rfw)
J exp(r(r,uj,Eyt))lf(r + E)dt

d(r,w)
= J exp (r(r, о;, E, t)) U;> E)f(r + cj, .E1) dt

f d(exp (r(r,u, E,t))f(r + tu,u, E)) r,u/( ,, *-(»,«)
= /

= exp (r(r,w,£))/(r + d(r,wV,w,.E) - f(r,u, E).
Таким образом, для всех х е X получили
f{r,u, Е) = exp (т(г,и, E))H(r + d(r,u)u,u, Е)-
d(r,u})

J ехр (т(г,и, E,t))P(r + tu,u, E)dt.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть /(х) для всех х 6 X удовлетворяет уравнению
/(г, и, Е) = ехр (г(г, w, £))#(г + d(r, и)и, и, Е)-
d(r,u)
— J ехр(т(г, ш,Я, 4))Р(г + tu,u,E)dt
в классе функций D(X0). Для любой точки (г, со, Е) е X имеет место представление г = г]— tu, где т] = г + d(r, и)и, то есть 4 = d(r, и) (при этом (rj, и, Е) 6 Г+ С X ). Сделаем замену г = т] — tu, тогда получим:
f(r,u,E) = f{r) - tu,и, Е);
H(r + d(r,u)u,u,E) = H(ri,u,E);
d(r,u) t О
т(г,и,Е) = J ц(г + vu, E)du — J ß(r— tu + vu,E)dv = — J ц(г] ~ su, E)ds