Применение метода линейных определяющих уравнений к диффузионным моделям

• Автор: Шмидт, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
Введение
1 Применение линейных определяющих уравнений для построения дифференциальных связей эволюционных уравнений диффузия конвекция
1.1 Постановка задачи
1.2 Анализ линейного определяющего уравнения
1.3 Построение решений уравнений, диффузия конвекция с помощью дифференциальных связей
1.4 Инвариантные решения одной диффузионной модели
2 Инвариантные многообразия систем уравнений реакция -диффузия
2.1 Предварительные замечания
2.2 Построение линейных определяющих уравнений для двухкомпонентной системы эволюционных уравнений второго порядка
2.3 Поиск инвариантных многообразий систем уравнений реакция -диффузия с помощью линейных определяющих уравнений
2.4 Построение решений систем уравнений реакция - диффузия, обладающих инвариантными многообразиями

3 Дифференциальные подстановки для систем уравнений ре-
акция - диффузия
3.1 Постановка задачи и предварительные обсуждения
•3.2 Описание систем уравнений реакция - диффузия, допускающих дифференциальные подстановки
3.2.1 Дифференциальные подстановки первого порядка
3.2.2 Дифференциальные подстановки второго порядка
3.3 Построение точных решений систем уравнений реакция диффузия, обладающих дифференциальными подстановками
Приложения Переходные процессы в простейшей модели распространения цепного пламени
Литература

Введение
Современный групповой авали-* дифференциальных уравнений [1, 15] является необходимым этапом в исследовании математических моделей и представляет собой мощную технику для эффективного нахождения точных решений исследуемых моделей. Построение точных решений всегда представляет значительный интерес. Во-первых, потому что каждому точному решению, как правило, соответствует реальный процесс в исследуемой системе. Во вторых, точные решения могут быть использованы при тестировании численных алгоритмов и программ, предназначенных для расчета соответствующих моделей.
В последние десятилетия бы. I предложен ряд обобщений основных инструментов классического группового анализа. В работе [2] описан неклассический метод, который тесно связан с методом дифференциальных связей [3]. В этом подходе к исходному дифференциальному уравнению
0(х, и. а. ■, д2, ..ф — О, (0.1)
где х = (ад, Д'2,..., Х’„), ик = д,.. ^..и дх , добавляется условие инвариантной поверхности
X) Афт. + Л'(.г. и) = 0. (0.2)

Требуя инвариантности системы, состоящей из уравнений (0.1), (0.2),

Глава 2 Инвариантные многообразия систем уравнений реакция—диффузия.
2.1 Предварительные замечания.
В последние десятилетия в связи с развитием синергетики (см., например [21, 22]) проявился значительный интерес к системам диффузионных уравнений
Системы реакция-диффузия (2.1) используются при описании возникновения и эволюции пространственно-временных структур в нелинейных средах различной природы [23, 24, 25]. В качестве примеров таких приложений можно привести моделирование процессов нелинейного горения [11, 26], описание закономерностей жизнедеятельности и развития живых организмов и их сообществ [27, 28], моделирование процессов в физико-химических системах [29. 30] и т. д.
Результаты групповой классификации эволюционных уравнений второго порядка можно найти в работах [31, 15]. Кроме того, известно достаточно большое количество публикаций, посвященных построению