Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов

• Автор: Сидоренко, Ольга Григорьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 120 с.

Глава 1. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа

§1.1. Поиск частных решений

§1.2. Нелокальная начально - граничная задача

§1.3. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§1.4. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§1.5. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями

Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа

§2.1. Поиск частных решений

§2.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§2.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§2.4. Нелокальная задача в полуполосе

Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа
§3.1. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода
§3.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в
полуполосе
§3.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода . . §3.4. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями
Библиографический список

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.
Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волко-давова, С.П. Пулькнна, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдииова, В.И. Жегалова,
A.М. Нахушева, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, А.П. Солдатова и других математиков.
Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи рассматривались A.A. Самарским и A.B. Бицадзе [7], A.B. Бицадзе [8],
B.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [17, 18], A.A. Дезиным [12], А.М. Нахуше-вым [30, 32], АЛ. Скубачевским [52], O.A. Репиным и М.Е. Лернером [24] -[27], O.A. Репиным [40], А.И. Кожановым [21, 22], Л.С. Пулькиной [35] - [38],

где С{ - произвольные постоянные, г = 1,3.
Лемма 1.11. Существуют а и постоянная Со > 0 такие, что для больших к справедлива оценка
Ыу/кАк{а) > С0 > 0. (1.92)

Доказательство данной леммы аналогично доказательству лемм 1.5 и 1.8. Если ДДа) ф 0 и выполнено условие (1.92), то на основании частных решений (1.8), (1.88), (1.89) и (1.90) решение задачи (1.2) - (1.4), (1.13), (1.45) можно представить в виде суммы ряда Фурье (1.80), с коэффициентами иД£), и щ(Ь), заданными соответственно по формулам (1.88), (1.89), (1.90).
Из лемм 1.1 , 1.6 и 1.11 следует справедливость следующего утверждения. Лемма 1.12. При любом Ь € [—ог, 0] для достаточно больших к справедливы оценки:
К(<)| < С1(|#з*|^-А + КГ2А), К(01 < Сх(Ы^~х + Ы*с2А);
К(<)1 < С2(ч>кк + Ык*~Х)> К(*)I < С2((ркк + ик^~х)]
<т<Сз{Шк*-Х + Ык2-2Х), уМ<Сз(Ык*-Х+№2-2Х).
Из лемм 1.11 и 1.12 получаем, что ряд (1.80) при любых t Е [—а, 0] мажорируется рядом
+00
[еды*;* А + |щк 2А) + С2((ркк^ А + |^-|к 2А) . (1.93)

Формально дифференцируем почленно ряд (1.80) по £ и х дважды. Тогда полученные ряды мажорируются рядом
+оо
£ [сцмьН + пк2-я) + С2(ШкИ + |гуе-“)1. (1.94)

Если функции Iр(х) Е С3+<5[0,1], < 5 < 1, <^(0) = <^(1), <Д(0) = <Д(1),
^(0) = "(1); и(х) Е С3[0,1], 1/(0) = и(1), 1/(0) = 1/(1), н'Щ = и"( 1), то