Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами

• Автор: Седипков, Айдыс Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 93 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Восстановление разрывов импеданса
1.1 Свойства решения и функции Поста
1.2 Однозначность восстановления разрывов импеданса
1.3 Алгоритм восстановления разрывов импеданса
ГЛАВА 2. Восстановление импеданса на всей полуоси
2.1 Однозначность восстановления импеданса
2.2 Основное уравнение и ее разрешимость
2.3 Процедура восстановления импеданса
ГЛАВА 3. Прямые и обратные динамические задачи теории распространения волн в упругой неоднородной среде с разрывными параметрами
3.1 Канонический вид прямых и обратных динамических задач
3.2 Вспомогательная спектральная задача
3.3 Разрешимость прямой динамической задачи
3.4 Решение обратной динамической задачи
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по некоторым их спектральным данным. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач установлены для операторов Штурма-Лиувилля, определенных дифференциальным выражением
где коэффициент д(х) называют потенциалом.
Обратные спектральные задачи для таких операторов исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, В. Гайзенберга, Г. Борга, М.Г. Крейна, В.А. Марченко, И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лей-бензона, М.А. Наймарка, Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Г. Гасымова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1-22] и литературу в них). Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну [1]. Он показал, что если собственные значения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля
-ихх + д(х)и,

-ихх + д{х)и = А и, X е (0, л)

с краевыми условиями
я|а:=0 — ихх=тт б
суть А* = к2, к > 0, то д = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного восстановления потенциала д. Первое основательное исследование восстановления выражения (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [3]. Он доказал, что спектры операторов, порожденных краевыми задачами для уравнения (2), у которых краевые условия совпадают на одном из концов интервала (0,7г), однозначно определяют функцию д. Эти результаты носят условный характер, так как предполагается существование операторов, для которых данные две последовательности являются спектрами. В работе [10] М.Г. Крейн-ном доказано, что потенциал д однозначно восстанавливается по спектрам двух различных самосопряженных расширений симметрического оператора в пространстве £2(0,71"), определяемого выражением (1).
Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, И.М. Гельфанду, Б.М. Левитану Н. Левинсону,
З.Л. Лейбензону, В.А. Юрко (см. [4-6,9,12,13,18,19,21,22]). Ими были разработаны: метод операторов преобразования, метод Гельфанда-Левитана, метод спектральных отображений, позволяющие восстановить оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей числовой оси, полуоси или конечном интервале.
Все эти результаты, имеющие нелокальный характер, являются следствиями теоремы о восстановлении дифференциального оператора по его спектральной функции. К сожалению, в многомерном случае точные аналоги этой теоремы пока отсутствуют, что затрудняет получение нелокальных результатов в теории многомерных обратных задач. Тем не менее, здесь также получены фундаментальные результаты, среди которых отметим работы М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, В.Г. Романова, С.И. Кабани-

Доказательство. Пусть векторы Y, D, так же как и искомые векторы У, D, порождают полный спектр пар TSV. Тогда вектор Y порождает спектр периодов SV и, следовательно, по теореме 5 существует единственная перестановка Р связывающая векторы Y, Y как YT = PYT и для которой возможны два случая: либо Р = Е, либо Р ф Е.
Рассмотрим первый случай. Обозначим через S(k) £ Sn мультииндекс, у которого к-ая компонента единица, а все остальные нули. Тогда

2 S(m) — мультиипдекс, у которого до А;-ой компоненты стоят нули, а с к-т=к
ой — единицы. Из (1-19) видно

I S(m),D) = -4, C(J2 D) = “*
m—k m—k

Но поскольку амплитуды при одинаковых периодах S(m),Y)

(X) S(m),Y) совпадают, то 4 = 4 для каждого к = 1
ется, что У = Y и D = D.
Рассмотрим второй случай. Поскольку Р не является тождественной перестановкой, то существует номер к = 1
S(k)P = (0