Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными

• Автор: Кирилич, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Львов
• Количество страниц: 102 c. : ил

1. Обзор литературы

2. Основные результаты диссертации

1. ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.1. Постановка задачи

1.2. Вспомогательные леммы

1.3. Локальная теорема о существовании и единственности непрерывного обобщенного решения

1.4. Соответствующая нелокальная теорема

Г;5. Случай полулинейной системы

1.6. Комментарии

2. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТРОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫ!®

2.1. Постановка задачи

2.2. Существование и единственность решения задачи
(2.1.1) - (2.1.5)
2.3. Замечания
3. НЕЛОКАЛЬНАЯ МНОГОФАЗНАЯ ЗАДАЧА ТИПА СТЕФАНА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
3.1. Постановка задачи типа Стефана
3.2. Разрешимость задачи (1.1.1), (3.1.1) - (3.1.2)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ I. Обзор литературы
Предметом исследования в данной работе является либо гиперболическая система первого порядка
где 11 (х,-Ь) , а а (х,-Ь) , Л (ХЛ) - заданные функции в
некоторой области в плоскости xOt . Все эти функции, равно как и искомое решение, считаются^аещественнозначными. Гиперболичность уравнения (1.2) понимается в том смысле, что в разложении
Для таких уравнений и систем привычными и с достаточной полнотой исследованными являются задача Коши, смешанная задача и задача Гурса-Дарбу. Наиболее детально изученную задачу Коши здесь рассматривать не будем.
Смешанная задача исследовалась многими авторами различными методами. Наиболее общие результаты получены в работах В.Томе [85-8б] , Г.Пейсера [78-79] методом интегралов энергии, в работах
В.Э.Аболини и А.Д.Мышкиса [3-4] , З.О.Мельника [зз] методом характеристик.
Имеется многочисленная литература, посвященная исследованию различных смешанных задач для частных видов системы (І.І) и уравнения (1.2) разными методами (помимо указанных выше - метод спектлибо одно гиперболическое уравнение произвольного порядка
(1.2)
функции Ц=4,уі) действительны и различны во всех точках
ральных разложений, метод интегральных преобразований, приближенные методы и др.).
Весьма детально исследована смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка. В простейшем случае, когда уравнение (1.2) является уравнением струны, наиболее употребляемыми методами решения смешанных задач являются - метод разделения переменных (см., например, [50,5б])и метод интегральных преобразований [24]. Многие утверждения о решениях уравнений второго порядка получаются как следствие общих результатов для многомерных гиперболических уравнений второго порядка, исследованных с привлечением методов функционального анализа (см. [25,4б] ).
Решения общих смешанных задач для системы (1.1) находятся методом априорных оценок в [85]. В [4] исследована смешанная задача для системы (1.1) и для полулинейной системы аналогичного вида с общими граничными условиями, содержащими последействия. При помощи метода характеристик задача приведена к эквивалентной системе интегральных уравнений Вольтерра, разрешимой по методу итераций. Исследованы свойства классического и обобщенных решений.
Детальное изложение различных методов решения смешанных задач для линейных систем (1.1) приведено в [12]
Смешанная задача для гиперболических уравнений и систем высших порядков изучена не так подробно, как для системы первого порядка и уравнения второго порядка. В [63,85] для уравнения (1.2) установлены априорные оценки решений общих смешанных задач типа
Iй I «--■»>6 4 » а|л,ч,8 4с|ьи »
где в - определенная область с границей Э , а С - положительная константа, не зависящая от и . Использованию полученных оценок с привлечением метода продолжения по параметру и теорем Соболева

m г P
2 l £ j Rls ('сЛ)рї(Ф<к +■
't-і (as+^(-t),-C)

£ J R-sC'c^vt^dtL=cp+H у

X* î Ris tt.-ÖvtWdt +
'“*и щіт (I-3-I5)
^ -t &-S-H Ct)
+ £ і Q-ls Цї'^ФіО*/^6)^*
-Ь(аа+Н(^,і) ^(і,а5Сг),т;)
Ps -t Ц>?(-Ь,а3+/г),г)
+.£+i I I ÜLPS Ф!(^,ц£)(1^ +
' 0 *?• (t.CLetö/t)
-t ^?(t,as+,(t),T)
+ £+< I I Q-üs (^A,u.s)d^
-tt(a.s(t),'t) asCi4)
= kPC-t) , p= C|,+A,N