Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности

• Автор: Рудых, Геннадий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 249 с.

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА
1. Нестационарная п-компонентная система уравнений Власова-Максвелла. Краткий обзор исследований и постановка задачи
2. Существование стационарных решений п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
3. Существование решений краевой задачи Дирихле для системы нелинейных эллиптических уравнений на скалярный и векторный потенциалы
4. Специальные классы точных решений стационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла
5. Редукция нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла к нелинейному гиперболическому уравнению
6. Исследование нестационарной п-компонентной системы уравнений Власова-Максвелла с внешними источниками
ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1. Преобразования Беклунда, связывающие решения одномерного уравнения нелинейной теплопроводности с родственными уравнениями
2. Уравнения нелинейной диффузии без источника (стока)
3. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком), зависящим от температуры
4. Уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) специального вида

ГЛАВА III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности без источника (стока)
2. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (частный случай)
3. Исследование совместности переопределенной системы уравнений (общий случай)
4. Многомерное квазилинейное уравнение теплопроводности с источником (стоком)
ГЛАВА IV. СУЩЕСТВОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТОЧНЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
1. Представление многомерного уравнения нелинейной диффузии в виде переопределенной системы и исследование ее совместности
2. Конечномерная разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии
3. Редукция разрешающей системы к переопределенной системе алгебродифференциальных уравнений (существование решения, частный случай). Качественный анализ решений задачи Коши для вспомогательного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения
4. Разрешимость задачи Коши для матрично-векторно-скалярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
5. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р ф 2)
6. Существование решений задачи Коши для переопределенной системы алгебро-дифференциальных уравнений (случай р — 2)
7. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) - проблема формирования, нагрева и удержания высокотемпературной плазмы, состоящей из ансамбля заряженных частиц. Составной частью этой проблемы является задача формирования и транспортировки мощных потоков (пучков) заряженных частиц, имеющая многочисленные приложения. Эта и многие другие задачи математического моделирования в физике плазмы приводят к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с частными производными. В настоящей работе исследуются система интегродифференциальных уравнений Власова-Максвелла (ВМ) [Власов, 1950] и нелинейное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением [Калашников, 1987], связанные с задачами математического моделирования в физике плазмы и описывающие соответственно динамику заряженной плазмы в кинетическом приближении [Девидсон, 1978] и ее диффузию поперек магнитного поля [Hyman, Rosenau, 1986; Rosenau, Hyman, 1986].
Действительно, в течение длительного времени, в связи с созданием сильноточных ускорителей и проблемой УТС, продолжают оставаться актуальными задачи математического моделирования в физике плазмы, связанные с формированием, удержанием, подавлением диффузии, фокусировкой и транспортировкой взаимодействующих пучков (ансамблей) заряженных частиц [Днестровский, Костомаров, 1982; Дривотин, Овсянников, 2001; Чихачев, 2001].
Одной из математических моделей, описывающих бесстолкновитель-ный ансамбль п € N различных сортов взаимодействующих заряженных частиц щ, дг, • • • 1 0 по координатам г — (x,y,z) G О С М3 и скоростей V = (vx, vy, vz) 6 R3, является система уравнений Власова-Максвелла (ВМ)
условие (В) выполняется, причем /3i — di/2ai, то есть 7 = 1/2а^.
Утверждение 2.4. Пусть / /(—а | v |2 +(v, d) + Ф(^,?7))йг> < +оо,

/ vf(—a v |2 +(u,d) + Ф(^,77))^г> < +оо, а € М+, d € М3, г
непрерывная функция своих аргументов, тогда I г»/(—а | г; |2 +(г/, дг) + Ф(£, rj))dv

= ^aj f(-°y2 + M+ *&*)№■ (2.39)'

Доказательство. С помощью замены переменных г» = и + ^, и — (щ,щ, щ) имеем
J vf(—a I V I2 +(щ d) + Ф(с, Tj))dv = J uf(-a | и |2 +~ + Ф(£, n))du
R3 R3
+^а J * U ^ + 2а" + Ф^’ n^du'

Переходя к сферическим координатам £>0, 0 < р < 7Т, 0 < в < 2тг, щ — q sin ip cos в, U2 = 0 sin ^ sin#, щ = р cos р, получим
J uf(—a I и I2 + Ф(£, rj))du = 0.

Таким образом,
J vf(—a | v |2 +0,d)-M&(£,77))dv = ~ J f{-a и |2 +^^-+<£>(£,r)))du,
R3 R3
где и = v — Утверждение доказано.
Тем самым, из утверждений 2.3, 2.3', 2.4 вытекает
Следствие 2.4. Пусть функции Д = /<(—оци2 + (v,d{) + tpi + фф удовлетворяют условиям (А), (В). Тогда система (2.28), (2.29) преобразуется к виду

Ар = ц Е д,гЛ(7г + k4> + ЬФ), (2.40)
i=l