Нелокальные задачи для уравнений с частными производными второго порядка

• Автор: Волынская, Мария Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение
1 Задачи для нагруженных гиперболических уравнений
1.1 Смешанная задача для нагруженного гиперболического уравнения в прямоугольнике
1.2 Задача о барабане
2 Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения с оператором Бесселя
3 Нелокальная задача с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольнике
Литература

Введение.
Нелокальными краевыми задачами в литературе принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках [64].
Задачи такого типа возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических и экологических явлений, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место, например, при изучении: явлений, происходящих в плазме [82]; распространения тепла [1],[72]; влагопереноса в пористых средах [63],[14]; некоторых технологических процессов [60]; задач математической биологии и демографии [64]. Исследования нескольких последних десятилетий выявили тесную связь нелокальных задач с обратными задачами [47],[67] и задачами для нагруженных уравнений [64]. Нелокальные задачи имеют большую практическую значимость и при решении задач механики твердого тела, так как позволяют управлять напряженно-деформированным состоянием
Большую роль для многих последующих исследований сыграли статьи Бицадзе A.B. и Самарского A.A. [8] и [82], где систематизированы начально-краевые задачи с дискретными нелокальными условиями, в частности, поставлены и исследованы пространственно-нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений. Они названы задачами Бицадзе-Самарского и нашли свое применение в теории упругости и теории оболочек.
Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений внесли работы Дезина A.A. [35], [36], Жегалова В.И. [42], Моисеева Е.И. [59], Скубачевского A.JT. [83], Гущина
А.К. [34], Нахушева А.М. [64], Гордезиани Д.Г. и Авалишвили Г.А. [31], Кожанова А.И. [53].
В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических
[31].
величин на границе области, но известно их усредненное значение внутри. Интегральные нелокальные условия, в некотором смысле, можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального смещения (сдвига), которые имеют вид:
Е Bju(z) = ßj(z), zE и Vi е {/}, (1)

где и) - непустое множество n-мерного евклидова пространства, a {J}-индексное множество числовой прямой.
Задачи с условиями типа (1) рассматривались Стендовым В.А. [88], Бицадзе A.B. [7], Самарским A.A. [82], Нахушевым А.М. [64], [62], Ильиным В.А. и Моисеевым Е.И. [44].
Например, Стендовым В.А. ([88], с.63) показано, что задача об охлаждении изогнутого стержня, при определенной её схематизации, редуцируется к задаче отыскания решения и(х,у), уравнения:
диу - (k0ux)x + rriQU = 0 (2)
с краевыми условиями:
и(х, 0) = (ж), 0 < х < £, (3)
а{и{0, у) + aJ2ux(0, у) + а33и{£, у) + а{их(£, у) = 0, (4)
где 0 < у < Т, j = 2,3; д, к0, mo-параметры тонкого стержня длины £, отсчитываемой от концевой точки х = 0; заданные постоянные величины.
Рассмотрим подробнее некоторые из статей, которые явились отправной точкой исследований, представленных в настоящей работе. Одной из первых публикаций, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными, можно назвать работу «The solution of the heat equation subject to the specification of energy» [46], в которой Cannon J.R. доказал однозначную разрешимость смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности ut — ихх с начальным условием и(х. 0)=<р(ж) и интегральным нелокальным условием x(t)
J u(x,t)dx = E(t), 0 где X(t),E(t) Е С1 [0,У] - известные функции.
Позже задачи с интегральными условиями для параболических

ф(і) = І К((;,г)и(£,г)с1£ = (к, и)І2т.

Рассмотрим равенство:
Ті і
] ] Ш ! К{ф)ит{ф)(1Х(И - (фт(і;),г)і(х,і) . (1.41)
ооо ' £'Л<2)
Как уже отмечалось, последовательность {ит(х, і)} сходится равномерно ПО ІЄ[0,Т] в норме 1/2(0; £) к элементу и(х, і), тогда в силу свойств скалярного произведения ([57], с.72)
ит)ыо,() (К,и)ыол,
то єсть
тН-йо КВ)Ь‘т - и]гі = 0, 1 Є [0,Т].
Рассмотрим норму разности:
||Фт(і) - Ф(і)|і12(0>т) = / (к(£,ї)[и,п ~ & “> 0. ПРИ т-лоо.
Отсюда следует, что Фт(1) сходится к Ф(і) по норме в 2(0, Т), Так как из сильной сходимости следует слабая, то можно перейти к пределу в равенстве (1.41).
Получаем:
I[т ! I т)Ь I К{£,г)ит{£)с1£,(1х(И = I! щ ] К{ф)и{ф)<1£(1х<И. (1.42) 0 0 0
В силу условия (1.2), {ит(х, 0)} —У <р(х) при т —> оо по норме в Ь2(0, Т), следовательно:
I ф, 0) I 0)ат(£, 0)еж = I ф, 0) I К(£, 0)ффйх. (1.43) 0
Тогда из (1.40), (1.42) и (1.43) следует, что т//гД /К{фт{ф)сфхЖ = I/Л £)и(ффс1хМ.
О О ° О

Тождество (1.39) справедливо при /??(ж, €) вида Е Ь.3(£)иг£(х). Обозначим

совокупность таких функций г){х,£) через 0,у- В тождестве (1.39) перейдем к пределу по выбранной выше последовательности при