Квазиуровни и рассеяние для дискретного уравнения Шредингера с убывающим потенциалом

• Автор: Морозова, Людмила Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Одночастичный оператор

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Функции Грина

§ 3. Спектр и квазиуровни

§ 4. Задача рассеяния для оператора Но + V

§ 5. Задача рассеяния для оператора Но + є(-, <ро)іро

Глава 2. Двухчастичный оператор

§ 6. Разложение в прямом интеграле двухчастичного оператора

§ 7. Функции Грина для возмущенного периодического оператора
§ 8. Квазиуровни в случае IV
§ 9. Квазиуровни в случае возмущенного периодического
потенциала
Список литературы

Основные обозначения
1 /2
К" — евклидово пространство размерности п с нормой ||х||

12(Ъ)~ гильбертово пространство бесконечных в обе стороны последовательностей комплексных чисел: <р € : Ъ —> <С, j *-* в котором
* — операция свертки.
а(А)(ае$3(А)) — спектр (существенный спектр) оператора А.
/2(Л/') <8» Ь2(М), где N С Ъ2 - произвольное подмножество, М - измеримое подмножество в К™, — гильбертово пространство всех измеримых наборов по к функций <рп(к), где п € А'”, к С М, со скалярным произведением
1 /2
норма задается равенством ||у?|| = (]Г) фз)
Е[/] — преобразование Фурье функции / £ Ь1{—оо, оо) вида

(ПЛ)(|/) = /Ы = I №е-ь*ёх.

Введение
Дискретное уравнение Шредингера изучалось в большом количестве математических работ. Отметим работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В статье Ф. де Виега (F. da Veiga), Л. Иоратти (Ioriatti) и М. О’Кэррола (O’Carroll) [1] исследуется двухчастичный дискретный оператор Шредингера указанного выше вида с потенциалом взаимодействия V = fi,öni~no, где 8Пип2 - символ Кронекера. Установлено, что этот оператор при фиксированном квазиимпульсе (см. определение ниже) либо имеет единственное собственное значение, либо не имеет собственных значений в зависимости от значений энергии взаимодействия ц > 0 и квазиимпульса.
Оператор, подобный одномерному дискретному оператору Шредингера, рассматривается в статье A.A. Арсеньева [2],' посвященной задаче рассеяния на квантовом бильярде в приближении сильной связи. В ней исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса и объясняется влияние симметрии системы на картину расеяния. Показано, что при выполнении некоторых условий существует полюс матрицы рассеяния; кроме того, получено соотношение для коэффициентов отражения.
Обратные задачи рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля исследуются в монографиях В. А. Юрко [3], [4]. Случай дискретного оператора Штурма-Лиувилля рассматривался в работе А. И. Аптекарева и Е. И. Никишина [5], а дискретного периодического оператора Шредингера - в работе Е. Коротяева и А. Кутцеико [6].
В статье С. Н. Лакаева [7] исследовались свойства собственных значений

Из (2.12), (2.13) и (2.14) вытекает, что
\7в(У\р*5со. (2.15)
В случае Л < 2(1 рассуждая аналогичным образом приходим также к выражению (2.15). Лемма доказана.
Далее исследуем поведение функции Грина для с1 — 3 вблизи точек существенного спектра.
Используем теорему о разбиении единицы [46] (в данном случае на торе

Т1 = [—7г,7г) ): 1 = X) (р?)- Здесь ид(рД £ Тогда на торе

Г3 — [7г,7г)3 получим разбиение единицы вида

1 = XI <‘>п(Р1Мп(р2)<(Рз).
1,тп,п
Обозначим знаменатель подынтегральной функции в выражении (2.3) через у(р,Р2>Рз)- Кроме того, положим п = п — гп, п € Ж3. В силу аналитичности функции у(р Р2-, Рз) имеем разложение в степенной ряд в окрестности точки Ро — (рю,Р20,Рзо)
у(Р1>Р2,Рг) ± ге = Уюо(р1 - рю) + Уою(рз - Р2о) +
+ут(рз -Рзо) + ...±ге. (2.16)
Лемма 2.3. Путь ?/оо1 = Ф тогда имеет место следующее
представление:
у{р1,Р2,Рз) ± ге = а(р!,р2,р&,ъе) [р3 - рзо + Р{РиР2,ге),
где а(р1,р2,рз,) ф 0 и (3(р,р2,гг) — аналитические функции, причем /3(0,0,0) = 0. При этом, коэффициент разложения первого порядка /?оо1