Приложение теории накрывающих отображений к нелинейным уравнениям и управляемым системам

• Автор: Жуковский, Сергей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

3.3 Интегральные уравнения Вольтерра

3.4 Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра

Литература

Введение
Диссертация посвящена применению теории «-накрывающих отображений в метрических пространствах к исследованию локальной разрешимости дифференциальных, функционально-дифференциальных, интегральных уравнений и управляемых систем. В частности, рассматриваются

• управляемая система вида

х = /(і, х,и), х(і0) = т0, д(Ь,х,и)еУ, и Є и, где х - фазовая переменная, и - управление;

• задача Коши для интегро-дифференциального уравнения

• операторные уравнения Вольтерра в метрических функциональных пространствах.

В перечисленных задачах считаем заданными функции /, д, К, множества С/, V, Г2, вектор хо и число £0.
Рассмотренные и многие другие прикладные задачи анализа и теории дифференциальных уравнений сводятся к решению уравнений вида
/(М(£),х(£), / /С(і, в,#^)) сів) = О,
х(і) Є П, х(і0) = х0;
• интегральное уравнение вида
Ф(х) = у

с неизвестным х или уравнений более общего вида
Ф(ж) = Ф(х).
Здесь Р, Ф : X —> У - заданные отображения, и для многих задач пространства X, У являются лишь метрическими.
Если X и У — линейные нормированные пространства, то при исследовании вопроса разрешимости этих уравнений часто применяется теорема об обратной функции. Также нередко используется классический принцип сжимающих отображений. Особенно его применение обосновано в случае, когда соответствующие отображения не являются гладкими, или, более того, пространство X = У метрическое. Если X и У разные метрические пространства, используются более общие принципы существования точек совпадения двух отображений, как правило, основанные на понятии накрывания отображений.
Дадим определение понятия «-накрывающего отображения. Пусть X, У - метрические пространства с метриками рх и ру соответственно, заданы числа а > О, И > 0, множество ТУ С У и точка жо £ X. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар в X с центром в точке х радиуса г > 0, положим и — Вх{хо, К). Пусть задано отображение У : X —* У. Будем говорить, что отображение У является а-накрываклцим, если для любых х € X, г > 0 выполнено включение
Ву(Р(х),аг) С Р(Вх(х,г)).
Если же для любого шара Вх{х, г) С У выполнено включение
Ву{Р[х),аг) П ТУ С Р{Вх(х,г)),
то будем говорить, что отображение Р является «-накрывающим относительно шара II и множества ТУ.
Перейдем к краткому литературному обзору по теории «-накрывающих отображений.

Отметим также, что на множестве С/о отображение G(-, •) является (а,/?)-накрывающим множество V по переменной и тогда и только тогда, когда
Ver G Е, и0 G U Зи G U :
G(сг,и) € V и ри(и0,и) < -^dist(G(er,«о), V)1^.
Пусть теперь дано метрическое пространство S с метрикой ра, отображение (3:5хЕх[/^Уи точки £о G Е, его G Е, «о G U. Для £ € S, <т € Е положим
M(Ç,*) = {ueU : G(Ç,a,u) G У}. (1.5)
Теорема 2 Предположим, что
a) все замкнутые ограниченные подмножества метрического пространства U компактны;
b) отображение G непрерывно;
c) выполнено включение
G(Ço,cr0, и о) G И ;
d) существуют такие а > 0, /3 > 1, что для любого £ £ S на множестве С/о(£) = Вц(щ, д(£, его, ио)), где
д(£, сг, u) — a_1dist(G(£, а, и), V)1^, (1.6)
отображение G(£, -,-) является (а, (3)—накрывающим множество V по переменной и.
Тогда существует многозначное отображение М : Е х Е —> 2е7, для которого выполняются следующие условия:
1) для любых £ 6 Е, ег G S множество М(£, ег) компактно и выполняется включение М(£, а) С М(£, ег);
2) отображение М полунепрерывно сверху на H х S, и при любом £ G El отображение М(£, •) непрерывно в точке его;
3) для любого 7 > 0 существует число такое т G (0,7], что при всех £ G -В(£о,т), ег € £(сго,т) выполняется включение М(£,сг) С В(щ, 7).