Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу

• Автор: Костригина, Ольга Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 146 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Критерий интегрируемости по Дарбу
§1. X— и у—интегралы нелинейных гиперболических систем
уравнений
§2. Условие конечномерности характеристического кольца Ли
§3. Необходимое условие интегрируемости по Дарбу
Глава 2. Классификация систем уравнений с конечномерными кольцами Ли
§4. Система уравнений иху = /(и, у), уху = ф(и, у)
§5. Линеаризации гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью
§6. У—компонентные системы уравнений с интегралами первого порядка
§7. Двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами
первого порядка и одним второго
Глава 3. Двухкомпонентные системы уравнений с двумя интегралами первого порядка и двумя второго
§8. Условия существования интегралов
§9. Классификация систем уравнений

§10. X— и у—интегралы
§11. Построение точных решений
§12. Задача Гурса
Заключение
Литература

Введение
Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида
ихУ = У>и: их, %)> г = 1, 2, — ,71, и = (и1, и2
Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.
Изучаемые системы (0.1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли - Беклунда, что позволяет для их классификации использовать “симметрийный” подход (см. [2, б, 29, 30, 31, 41, 42]). Симметрийный метод классификации очень эффективен в случае эволюционных уравнений. Однако, как показано в работах [7, 28], при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации. Поэтому для эффективного исследования интегрируемости гиперболических систем уравнений необходимо применять иные подходы. Один из таких подходов, обсуждаемый в статьях [1, 25, 27, 43, 46, 47], связан с инвариантами Лапласа.
В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио и других авторов (см., напри-

(4.10)
и обозначим
9{и, v) — (2Си - di2)u + (ci2 - 2d22)v.
Тогда система (4.8) примет вид
Fu + с2евФ = 0, Fv + 2с22евФ — 0, j Фи + 2dne = 0, Фг, + d2e 0.F = 0.
В случае ci2c22 0, из первых двух соотношений (4.10) получаем
2С22 Fu — C2FV
и, следовательно,
F{и, v) = F(ci2u + 2с22п), Ф(и, v) = -e~eF'(ci2u + 2с22п).
Тогда последние два уравнения системы (4.10) примут вид:
; рп = 2сп -_di2 р, + 2dn F F„ = C[2 - 2d22 F’ +dR (4 n)
«12 C12 2C22 2c22
Следовательно
C12 — 2d22 _ 2сц — c?i2 rfi2 _ 2dn 2c22 Cl 2 ’ 2C22 C12
Из полученных соотношений находим
, 12Cl2 J C12 C22 (2Сц — d12)
«11 = —j
4«22 2 Cl
Нетрудно показать, что каждое из уравнений системы (4.11) эквивалентно
следующему
р" - 2cu - dl2p’ | du F «12 2C22
Если дискриминант характеристического уравнения
д2 2сц — «12 2с22