Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов

• Автор: Ефимов, Антон Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 120 с.

Глава 1. Краевые задачи со смещением для дифференциальных уравнений гиперболического типа
§ 1.1. Обобщенные операторы дробного интегро- дифференцирования и некоторые их свойства

§ 1.2. Нелокальная краевая задача для уравнения Г еллерстедта

§ 1.3. Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области
§ 1.4. О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля для уравнения влагопереноса при а

§ 1.5. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а

Глава 2. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа

§ 2.1. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода

§ 2.2. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода

§ 2.3. О нелокальных задачах для параболо-гиперболичского уравнения с дробной производной
§ 2.4. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной
Библиографический список использованной литературы

Диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в ограниченных областях, а также для уравнений смешанного типа с дробной производной в неограниченных областях.
В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Теория краевых задач для таких уравнений является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Основополагающими в развитии этой теории стали труды Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [94]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи. Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит A.B. Бицадзе, С.П. Пулькину, В.А. Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, А.М. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, P.C. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, JI.C. Пулькиной, A.A. Андреева, и др. Среди опубликованных за последние годы работ, отметим следующие: [5-6], [8-11], [13-14], [22-25], [26-27], [29], [33-34], [40], [43], [47], [48-50], [58], [65-66], [69], [70-71], [77-79], [90-91], [92].
Необходимость решения современных проблем физики, как отмечает в своей обзорной работе A.A. Самарский [81], повлекла за собой возникновение качественно нового класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе A.A. Дезина [19].
Это такие задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.
На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стендовым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.
Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и
А.М. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.
Благодаря исследованиям А.М. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58].
Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, A.A. Килбаса и О.И. Маричева [82].
Новым этапом развития этой теории было положено работами японского математика М. Сайго [98-102]. В его работах для гиперболического уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона (Э.Д.П.) в краевых условиях появились интегралы и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре.
Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и

в (1.3.13), получим характеристическое сингулярное интегральное уравнение [82]
а{х)ц(х) + — = Г(х) (х£/). (1.3.24)
л^Г-д:
Потребуем, чтобы выполнялось условие вида (1.2.37):
с1(х) = [/С,(1-д:)Л'+Д2+|р -Въсо$л{Р- А,)]2 +
+ [В35шл-(Д-А1)]2 *0 (хе7), (1.3.25)
при этом а(х)Е#Л|+|"/?+А-[0Д], Д,+1-/? + Д2>0.
Учитывая (1.2.7) и (1.3.20), запишем функцию ц(х) в виде
М(*) = _ , где ц' (х) = х*'"-ру(х)<ЕН^[Щ. (1.3.26)
Будем искать решение уравнения (1.3.24) в весовом классе гельдеровских
функций #оа((1-х)А,+|~^+4г;[0,1]). Составим функцию С(х), используя
коэффициенты сингулярного интегрального уравнения (1.3.24)
а(х) + ю
_ АГ,(1 — лс)Л| +,-/3+л2 _взсо$я(Р~Д,)-Ш, втяДД - А,) _ Ш{х)
~ /С,(1 -л:)л’+,-/?+Д2 -В3оо&я{р-^) + 1В^ттс{Р-^)~е ’

^(дс) = argG(x). (1.3.27)
Тогда
ь' в „'п(Р~А1)
(7(0) = —! 3 = е#в •
К, — В3е '
Выберем значение argG(jc) так, чтобы
К, - В
0 <; argG(O) = arg|
К,-В3е
< 2я. (1.3.28)
Это значит, что в = (9(0) = argG(0) определено следующим образом:
в = 2arctg В^тЛ^,/,А'К , если В3(К] - В3 cos я( р - А,)) < 0; К, -2?3 cos;r(/? - А,)