Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения

• Автор: Селицкий, Антон Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

1. Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном случае
1.1. Постановка задачи
1.2. Слабые решения
1.3. Сильные решения
1.4. Гладкость сильных решений в прямоугольных подобластях
1.5. Гладкость сильных решений па границе соседних прямоугольных подобластей
1.6. Пространство начальных данных и проблема Т. Като
2. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае
2.1. Постановка задачи
2.2. Слабые решения
2.3. Сильные решения
2.4. Гладкость сильных решений в цилиндрических подобластях
2.5. Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей
2.6. Пространство начальных данных
3. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае
3.1. Постановка задачи
3.2. Слабые решения
3.3. Сильные решения
3.4. Гладкость сильных решений в цилиндрических подобластях
3.5. Гладкость сильных решений на границе соседних цилиндрических подобластей
3.6. Пространство начальных данных
Список литературы

1. В настоящей диссертации изучается разрешимость и гладкость сильных решений второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным. Изучается вопрос описания пространства начальных данных этих задач, а также их связь с проблемой Т. Като.
Основы общей теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений были созданы в работах А. Л. Скуба-чевского. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фред-гольмовой и нетеровой разрешимости в пространствах С. Л. Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Наиболее полное изложение теории эллиптических краевых задач для дифференциально-разностных уравнений и обширную библиографию можно найти в [35].
Параболические функционально-дифференциальные уравнения с запаздываниями по времени изучались многими авторами, см. [26], [22], [29], [37], [39]. Наиболее общий случай таких уравнений, содержащих переменные запаздывания в старших производных, рассматривался в работах В. В. Власова [1], [2].
Первая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным рассматривалась в работах Р. В. Шамина и А. Л. Скубачевского [14], [36].
В [36] рассматривалось пространство начальных данных первой краевой задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений, т. е. пространство начальных функций, для которых существует сильное решение рассматриваемой задачи. Задача о пространстве начальных данных тесно связана с известной проблемой Т. Като о корне квадратном из оператора [4]: совпадают ли 27(Л1/,2) с Т>(Л*1^2) для га-секто-риального оператора? В общем случае ответ на этот вопрос отрицатель-

ный (Ж.-Л. Лионе [24], А. Макинтош [27], [28]). П. Аушером, С. Хофманом, А. Макинтошем и П. Чамичаном проблема Т. Като была решена для сильно эллиптических дифференциальных операторов и систем с ограниченными измеримыми коэффициентами [19]. В работах П. Ау-шера и П. Чамичана [20] и А. Аксельсона, С. Кейт и А. Макинтоша [21] эти результаты были перенесены на случай ограниченных областей с липшицевой границей. В работе Р. В. Шамина [17] дано явное описание пространства начальных данных первой краевой задачи для параболических функционально-дифференциальных операторов, обобщающее результаты [36], а также выделен широкий класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. Интересно отметить, что аналогичные функционально-дифференциальные уравнения в одномерном случае рассматривались Т. Като и Дж. Мак Леодом [25].
2. В диссертации впервые рассмотрены вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. В отличие от параболических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри цилиндрической области даже при бесконечно гладкой правой части уравнения. Для таких уравнений доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость сильных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а при п > 1 еще и на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала. Приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей.
При исследовании гладкости сильных решений впервые были рассмотрены вторая и третья краевые задачи для сильно эллиптического диф-

Следовательно, уравнение Лдш = /о эквивалентно интегральному тождеству
(ю + Ахш, у)'т1(д) = (А2/о, г?)^21(<5) (и е И/21((5))- (2-3.8)
Из (2.3.8) следует, что
(/ + Л 1)10 = Иг/о- (2.3.9)
Поскольку оператор Л1 кососимметрический, оператор 1+А имеет ограниченный обратный в Ил21(<5). Поэтому уравнение Ацъу = /о имеет единственное решение гг = (/4-Л1)-1Л2/о. Таким образом, мы получили утверждение леммы. □
Изучим теперь вопрос о существовании и единственности сильного решения задачи (2.1.2) - (2.1.4).
Введем гильбертово пространство
У1[А-л) ={ю£ Т2(0, Т; Т>(Атг)) ■ Щ € 1-2 (<5г)}
со скалярным произведением
г т т
(«. = } Ии«. Л + I(*>• + IК ^)щ(д) •
О 0
Здесь производные рассматриваются в смысле распределений па <5гОпределение 2.3.1. Слабое решение и(х, I) задачи (2.1.2) - (2.1.4) называется сильным решением, если и € ТУ(Лтг).
Теорема 2.3.2. Пусть оператор Лд сильно эллиптический, и пусть с2 = 0. Тогда задача (2.1.2) - (2.1.4) для любых / € Т2(От) и р Е [Т^Лд), Ь2(£)]1/2 имеет единственное сильное решение, которое определяется по формуле

и(х, £) = Т^(т) + J Т)_5/(ж, в)Й5, (2.3.10)

где (Т)} (£ > 0) — аналитическая полугруппа с генератором {—Ац).