Некоторые свойства частот решений линейных дифференциальных уравнений и систем

• Автор: Сташ, Айдамир Хазретович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия и факты

1.1 Определение характеристик колеблемости

1.2 Спектры частот уравнений и систем

2 Спектры линейных уравнений третьего порядка

2.1 Периодическое уравнение с конечным спектром

2.2 Уравнение со счетным спектром

2.3 Неограниченное уравнение с континуальным спектром

3 Спектры линейных двумерных систем

3.1 Периодическая система с конечным спектром

3.2 Система со счетным спектром
4 Общие свойства частот линейных систем
4.1 Спектры треугольных систем
4.2 Разрывность крайних частот
Список литературы

Введение
Исследование линейных нестационарных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые выдвигают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения асимптотических и колебательных свойств решений систем.
Представленная работа является исследованием в области качественной теории линейных дифференциальных уравнений и систем, важнейшими направлениями которой являются теория устойчивости и теория колебаний.
С теорией устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений систем.
Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [15, 16], Б.Ф. Былов [10, 11],
В.М. Миллионщиков [41, 42, 43], H.A. Изобов [23, 24, 26], М.И. Рахимбердиев [46, 47], И.Н. Сергеев [48, 49], Е.К. Макаров [39, 40], Е.А. Барабанов [5, 6], A.C. Фурсов [86, 87], А.Н. Ветохин [13, 14], В.В. Быков [8, 9], Ю.И. Дементьев [19, 20] и другие. Здесь указаны лишь по 2-3 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [25, 29] и монографиях [12, 30].

Однако для полного описания реальных природных процессов важна информация не только о росте исследуемых функций, но и об их колебательных свойствах. В теории колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).
Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [34, 35], И.Т. Кигурадзе [31, 32, 33], Т.А. Чантурия [89, 90], А.Н. Левина [38], H.A. Изобова [27, 28], Дж.Д. Мирзова [44, 45], И.В. Асташову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [37] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения или системы хотя бы одного колеблющегося решения, а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение коэффициентных признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.
В последнее время интерес к таким свойствам решений линейных нестационарных систем, как ограниченность, устойчивость, колеблемость и т.п., возрос в связи с задачами изучения автоколебаний и хаотических режимов, возникающих в различных электронных и лазерных устройствах. В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.
В 2004 г. И.Н. Сергеевым были введены характеристики колеблемости решений линейных однордных дифференциальных уравнений, которые явились весьма эффективным средством для изучения колебательных свойств. Так, в докладе [50] он впервые ввел понятие характеристической частоты v(y) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и позволившее численно измерять колеблемость решений уравнений на полупрямой.

fi(t) — (cos2 t — sinl) exp(sin t), f 1 (1) = (cos31 — 3 sin t cos t — cos t) exp(sin t),
Ш) = hit) = hit) = 0, hit) = flit), hit) = hit), hit) = f[IVt) =
— (cos41 — 6 sin t cos21 — 4 COS2 t + 3 sill2 t + sin t) exp(sin t). и обозначим
/ Л h /з
* = A h h
V Л Л /з
Тогда при любом t € R+ определитель
Д(4) = det X{t) — ехр(2 sin t)(cos41 — 3 sin t cos21 — cos
— cos41 + 2 sin t cos21 — sin21) = exp (2 sin t) (l + sin t cos21)
положителен, а линейное однородное уравнение, решениями которого они являются, имеет вид (см. [85])

/1 /2 /з г/
/l Л /з У
Л /2 /з У
/1 / 2 7з У
Раскладывая в последнем равенстве определитель по элементам последнего столбца, получим
- Ai (t) .. Д2(0 п
V ’ У + ~а / ч ‘ У =
у A (t) У A(t)
(2.11)

flit) hit) hit)
Ai (t) — hit) hit) hit)
fiit) hit) hit)
= — exp(2 sint)i hit) COS t — f i{t)icos21 — sini)) =
= — exp(2 sin l)(cos51 — 6 sin t cos31 — 4 cos3(l) + 3 sin21 cos t+
+ sin t cos t — cos51 + 3 sin t cos31 — cos3(l) + sin t cos
—3 sin21 cos t — sin t cos t) = exp(2 sin t)i5 cos3(l) + 2 sin 1 cos3 1),