Нелокальные обратные задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа

• Автор: Мартемьянова, Нина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 108 с.

Глава 1. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного
типа е одинаковыми правыми частями
§ 1.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода
1.1.1. Постановка задачи
1.1.2. Формальное построение решения
1.1.3. Критерий единственности решения
1.1.4. Обоснование существования решения
1.1.5. Устойчивость решения
§ 1.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода
1.2.1. Постановка задачи
1.2.2. Формальное построение решения
1.2.3. Критерий единственности решения
1.2.4. Обоснование существования решения
1.2.5. Устойчивость решения
Глава 2. Нелокальные обратные задачи для уравнения смешанного
типа с разными правыми частями
§ 2.1. Обратная задача с нелокальным граничным условием первого рода
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Формальное построение решения
2.1.3. Критерий единственности решения
2.1.4. Обоснование существования решения

2.1.5. Устойчивость решения
§ 2.2. Обратная задача с нелокальным граничным условием второго рода
2.2.1. Постановка задачи
2.2.2. Формальное построение решения
2.2.3. Критерий единственности решения
2.2.4. Обоснование существования решения
2.2.5. Устойчивость решения
Библиографический список
Исследование краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в газовой динамике, теории околозвуковых течений, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях науки.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [77] и С. Геллерстедта [88].
Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф.И. Франкля [78], в которой он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.
Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [79],[80], A.B. Бицадзе [8, 11], К.И. Бабенко [3], C.S. Morawetz [89], M.N. Protter [90, 91], Jl. Берс [5], В.Ф. Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [18],
B.И. Жегалов [19, 20], А.Н. Зарубин [21], И.Л. Кароль [30], Н.Ю. Капустин [29], Ю.М. Крикунов [35], А.Г. Кузьмин [36], O.A. Ладыженская [40], Е.И. Моисеев [44], А.М. Нахушев [46], Н.Б. Плещинский [48],
C.П. Пулькин [51], O.A. Репин [54], К.Б. Сабитов [57], М.С. Салахитдинов [67], М.М. Смирнов [72], А.П. Солдатов [74, 75], P.C. Хайруллин [81], М.М. Хачев [82, 83] и другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, одним из примеров которых являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических и биологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области.
Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф.И. Франкля [79], A.B. Бицадзе [6, 7],
В.И. Жегалова [19, 20], J.R. Cannon [85, 86], Л.И. Камынина [28],

при условии, что Апд)(к) / 0, где Ааро(к) определяется по формуле
Таким образом, решение задачи (1.120) - (1.125) построено формально в виде сумм рядов (1.132) и (1.133).
1.2.3. Критерий единственности решения
Пусть существует два решения {«^Ж, у), Л(ж)} И {и2(х, у), ./*2(ж)} задачи (1.120) - (1.125). Тогда разность и = щ — щ удовлетворяет уравнению (1.1), но с правой частью /(ж) = Л(ж) — /2(ж), условию (1.123) и однородным граничным условиям:
Пусть при всех к Е N(N0) выполнены условия (1.73), (1.77). Поскольку в силу (1.184) (р(х) = ф{х) = д{х) = 0, то <р0 = ‘Фо = до = 0 и <р2к-1 = 4>гк — ^2/с-1 - ф2к = 02*-1 = 1У2/С = о при всех й 6 N. В силу этого и условий (1.73), (1.77) из равенств (1.168) - (1.170), (1.181) - (1.183) получаем а0 - Ьо = /о = 0, из (1.171) - (1.173) следует, что ак = Ък = /2* = 0 при всех & £ N. В силу найденных значений из равенств (1.174) - (1.176) ак — Ьк = /гй-1 = 0 при всех к Е N.
Тогда из (1.165) - (1.167) следует, что Т0(у) = 0, Т2к(у) = 0, Т2к-1(у) = 0, к ~ 1,2 —а < у < (3. Отсюда на основании (1.134) - (1.138) при всех у Е [—а, 0] имеем:
В силу полноты системы функций (1.131) в пространстве Тз[0,1] из последних равенств следует, что и(х,у) = 0 почти всюду на [0,1] при любом у Е [—а, 0 и /(ж) = 0 почти всюду на (0,1). В силу (1.120), (1.121) функция и(х,у) непрерывна в Л и /(ж) Е С{0,1), поэтому и(х,у) = 0 в Л и /(ж) = 0 на (0,1).
Отметим, что выражения Ааръ(к) и Да/зд(0) могут обратиться в ноль. Соответствующие корни этих выражений относительно а приведены в п.
Пусть при некоторых а,(3 и к = р Е N(N0) нарушено условие (1.73), то есть Да/зь(р) = 0 •
(1.77).
и(х,/3) = 0, и( ж, —а) = 0, иу(х, — а) = 0. (1.184)