Некоторые конструктивные методы построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных

• Автор: Жестков, Сергей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Могилев
• Количество страниц: 126 c. : ил

Предисловие

ГЛАВА I Алгоритмы построения периодических (многопериодических) решений общих линейных дифференциальных систем

в частных производных

§ 1.1 Вывод и обоснование алгоритма построения периодического по Г и многопериодического решений линейной

дифференциальной системы первого порядка

§ 1.2 Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным" условием

§ 1.3 Исследование алгоритма построения периодического

решения линейной дифференциальной системы с дополнительными краевыми условиями по одной пространственной переменной
§1.4 Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа
Гурса
ГЛАВА 2 Методы построения двоякопериодических решений канонических гиперболических систем и уравнений
§ 2.1 Построение двоякопериодического решения каноничес
кой гиперболической системы с помощью характеристик 64 § 2.2 Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных
приближений
§ 2.3 Построение периодического решения линейного волно
вого уравнения с использованием метода Фурье

§2.4 К вопросу о построении периодического решения нелинейного телеграфного уравнения
ГЛАВА 3 Алгоритмы построения решения задачи Коши для линейных нормальных систем в частных производных
§3.1 Построение решения задачи Коши для линейной системы
первого порядка методом последовательных приближе

§3.2 0 коэффициентных оценках решения задачи Коши и скорости сходимости метода последовательных приближений
§3.3 0 представлении периодических решений задачи Коши
канонических гиперболических систем в виде быстросходящихся рядов
Использованная литература

ПРЕДИСЛОВИЕ
Линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных являются одним из важных объектов исследования современного математического анализа, что обусловлено как многочисленными приложениями последних в различных областях естествознания, так и их особыми свойствами. В силу этого проблемы, связанные с разработкой простых и эффективных методов интегрирования линейных и нелинейных систем в частных производных, всегда представляли и пред -ставляют интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения.
Классическая точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений (следуя ЗК.Адамару) состояла в отыскании "общего интеграла", т. е. решения уравнения, содержащего столько произвольных параметров или произвольных функций, сколько необходимо, чтобы пред -ставить все решения, за исключением некоторых особых. В последние годы особенно интенсивно развивается иная точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений. Задача (в большинстве приложений) состоит не в нахождении общего решения дифференциального уравнения, а в выборе среди них некоторого единственного решения, определяемого дополнительными краевыми условиями. Тем не менее воз -можность представить общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества.
К настоящему времени разработано и фактически применяется большое число разнообразных методов интегрирования дифференциаль -ных уравнений, основанных на принципиально различных идеях.
Среди них важное место занимают итерационные методы и различные модификации метода малого параметра, представляющие собой одно из мощных: средств современной прикладной математики. В эпоху бур

и.(од,хг)=$цьхг, их(ога, хг)=Соз хг, (о <а 4 0).
Эквивалентное интегральное уравнение для этой задачи имеет вид х1 -а о * 0 1
Ьйл).
Вычислим несколько членов искомого ряда. Имеем
а^М^о,
иД»)*#п.2г-(а-^)С#а:г+ тЗ'^СиХъ
!Ь г %1 „ ,п 1 Зс&й ССх* х*
1^ху-е$1пх1[ 2 а - у -их^еОах^ да 2 г + з.1 )• и,({х)=г$спхг{ -уа3(&-фа}(си~х1)-^(а!*-**)}--г'Соз:гг{ |£ач(а -2Х)+ ^а3(а1-х1У уа1(с?-х*) - ) +
+ у((1-у) -у} - у-£
и т.д. Нетрудно установить, что предложенным алгоритмом строится периодическое решение вида
и&р)=ЧМСозхуа^пУСозх, + у Соз21Сьзхг ,