Исследования по переопределенным системам уравнений с частными и их применениям

• Автор: Самборский, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 311 c. : ил

ПРЕДИСЛОВИЕ

ГЛАВА I. НОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ -С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НИХ
1 I

§1. Предварительные сведения

§2. Комплексы, связанные с дифференциальными

операторами

§3. Комплексы, связанные с краевыми задачами

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДДЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§4. Теоремы конечномерности для нормализованных

операторов

§5. Эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу

§6. Теоремы конечномерности для операторов произвольного порядка
ГЛАВА III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§7. Эллиптические краевые задачи с параметром
§8. Параболические системы
Глава IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУГРУППОВЫХ МЕТОДОВ
§9. Редукция к уравнениям с операторными коэффициентами
§10. Системы вида Р Сх> ^£*0)
§11. Инволютивные дифференциальные системы в
банаховом пространстве

Глава V. ПРИЛОЖЕНИЙ К ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЙ
§12. Управляемость и множества достижимости
симметричных систем
Дополнение к §12. О замкнутых подмножествах и
векторных полях в банаховом пространстве
§13. Управляемость и множества достижимости
систем с "дрейфом"
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

ПРЕДИСЛОВИЕ
Рассмотрение систем дифференциальных уравнений, граничных и смешанных задач для них без ограничений на форму их записи ( типа свойства системы быть квадратной ) обусловлено, помимо естественности, возможностями применений к исследованию квадратных систем ( вне таких классов, как эллиптические или параболические) и приложениями. При исследовании разрешимости неоднородных систем ряд трудностей связан с возможной переопределённостью и изучением неизбежных в этом случае операторов совместности.
В данной работе для широкого класса операторов (А, В) , где А - дифференциальный, В - граничный линейные операторы, удовлетворяющие условиям регулярности типа невырожденности коэффициентов, указана процедура построения в конечное число шагов ( не выходя за рамки дифференцирования коэффициентов и конечномерной линейной алгебры ) локального ( дифференциально- граничного ) оператора ф - оператора совместности для(А,В). Этот оператор фигурирует в еле,дующих, полученных в главах „І - III результатах.
1). В вещественно-аналитическом случае для локальной разрешимости граничной задачи (А, В) ^ г ^ условия Ф (і",^^необходимы и достаточны.
2). В случае эллиптического оператора Д и выполнения условия коэрцитивности ( обобщённого условия Я.Б.Лопатинского ) в гильбертовых пространствах С.Л.Соболева конечномерно пространство К&я Ф / Iт ( А, В).
3). В случае параболического оператора Д ( в бесконечном цилин,дре с коэффициентами не зависящими от "времени") и выполнения условия коэрцитивности в анизотропных гильбертовых прост-

где стрелки - очевидные вложения и проекции.
Пусть Е , Ё - гладкие векторные расслоения над гладким многообразием М и А - линейный дифференциальный оператор порядка К , переводящий 6СЕ) в £СЕ') ( £(е пространства гладких сечений ) . Тогда однозначно определено
К f
такое отображение векторных расслоений РСАУ f СЕ)->Е,
что А - рС у*.
1.2. Определение [97J, { -м продолжением А(е) дифференциального оператора А назовём дифференциальный оператор К+ t -го порядка ^ А , действующий из <£( Е) в
£(ftВр). □
Для каждого дифференциального оператора а адресе'.) порядка К определены семейства подпространств
Лк-- UK4MK«pC*,A)£
Я-М --Ка«. р(х,Асе>)^ ^еСЕ).
1.3. Определение,[97, I2oJ . Дифференциальный оператор А называется достаточно регулярным, если семейства
при £ 2-0 являются подрасслоениями и отображения
nf . . ! ‘Я,. -*71 ‘ имеют при 1>0 К постоянный
JLo+rC,i ь+г * *
ранг (по х е А ") • О
1.4. Определение [97J. Дифференциальный оператор А называется формально интегрируемым, если он достаточно регулярен и отображения *51,;+х, i: I при ь являются
эпиморфизмами
1.5. Пример. Пусть А - дифференциальный оператор в области М £ R-” с постоянными коэффициентами. Тогда он достаточно регулярен. Если А содержит члены только старшего порядка, то он формально интегрируем